|
== Definice okruhu ==
[[MnožinaStruktura (logika)|MnožinuStrukturu]] <math>\mathcal{MR}</math> s nosnou množinou <math>R</math> a dvěma [[binární operace|binárními operacemi]] + ([[sčítání]]) a <math>\cdot</math> ([[násobení]]) nazvemena <math>R</math> nazýváme '''okruhemokruh''', platí-li pro každé <math>x, y, z \in \mathcal{M}R</math> následující [[axiom]]y:
# [[Komutativita]] sčítání: <math>x + y = y + x</math>
# <math>x + y \in \mathcal{M}</math>, <math>x \cdot y \in \mathcal{M}</math> (uzavřenost pro + a <math>\cdot</math>)
# [[Asociativita]] sčítání i násobení: <math>(x + y) + z = x + (y + xz)</math>, <math>x \cdot ([[komutativita]]y +\cdot z) = (x \cdot y) \cdot z</math>
# Existence oboustranně [[neutrální prvek|neutrálních prvků]] pro sčítání i násobení: existují prvky <math>0,1\in R</math> takové, že pro každé <math>x\in R</math> platí <math>x + 0 = 0 + x = x</math>, <math>x \cdot 1 = 1 \cdot x = x</math>
# <math>(x + y) + z = x + (y + z)</math> ([[asociativita]] +)
# Existence [[inverzní prvek|inverzních prvků]] pro sčítání: pro každé <math>x \cdotin (yR</math> existuje <math>y\cdotin z)R</math> =tak, (že <math>x \cdot+ y) \cdot= z0 = y + x</math>, ([[asociativita]]značíme <math>\cdoty = - x</math>)
# existujeOboustranná [[distributivita]]: <math>0x \cdot (y + z) = x\cdot y + x \cdot z</math> tak, že <math>(x + 0y) \cdot z = 0x \cdot z + xy =\cdot xz</math> ([[neutrální prvek|nulový prvek]])
# pro každé <math>y</math> existuje <math>x</math> tak, že <math>x + y = 0 = y + x</math>, značíme <math>x = - y</math> ([[inverzní prvek]])
# <math>x \cdot (y + z) = x\cdot y + x \cdot z</math> ([[distributivita]] <math>\cdot</math>)
# <math>(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</math> ([[distributivita]] <math>\cdot</math>)
== Vlastnosti ==
| 