Otevřít hlavní menu

Změny

Přidáno 49 bajtů ,  před 10 lety
m
robot přidal: la:Continuitas (mathematica); kosmetické úpravy
Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na [[množina|množině]] či [[interval (matematika)|intervalu]] (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o ''spojité funkci'' se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.
 
== Cauchyho definice ==
O funkci <math>f(x)</math> řekneme, že je spojitá v [[bod|bodě]] ''a'', pokud ke každému (libovolně malému) [[číslo|číslu]] <math>\varepsilon > 0</math> existuje takové číslo <math>\delta > 0</math>, že pro všechna ''x'', pro něž platí <math>|x-a|<\delta</math>, platí také
:<math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math>.
(resp. levého okolí) bodu ''a'' je <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math>. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.
 
Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci ''n'' proměnných. O funkci <math>f(x_i)</math>, kde <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě <math>A=[a_1,a_2,...,a_n]</math>, pokud ke každému (libovolně malému) číslu <math>\varepsilon>0</math> existuje takové číslo <math>\delta>0</math>, že pro všechny body <math>X=[x_1,x_2,...,x_n]</math> z okolí bodu ''A'', tzn. pro body jejichž [[vzdálenost]] splňuje podmínku <math>d(A,X)<\delta</math>, platí
:<math>|f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(a_1,a_2,\ldots,a_n)|<\varepsilon</math>.
 
== Heineho definice ==
Nechť <math>x_0</math> je hromadným bodem <math>D(f)</math>. Funkce <math>f</math> je spojitá v bodě <math>x_0</math> právě tehdy když <math>\forall \lbrace x_n \rbrace , x_n \in D(f), x_n \rightarrow x_0</math> platí <math>f(x_n) \rightarrow f(x_0)</math>.
 
== Spojitost komplexní funkce ==
O [[komplexní funkce|komplexní funkci]] <math>f(z)</math> říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě <math>z_0</math> [[komplexní rovina|komplexní roviny]] platí
:<math>\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)</math>.
Je-li funkce <math>f(z)</math> spojitá v každém bodě určité oblasti <math>\mathbf{G}</math>, pak říkáme, že je ''spojitá v <math>\mathbf{G}</math>''.
 
== Bod nespojitosti ==
Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako '''body nespojitosti'''.
 
Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod <math>b</math>. Bod <math>e</math> je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod <math>c</math> je odstranitelnou nespojitostí funkce ''f(x)''. Funkce je po částech spojitá na intervalu <math>\langle a,d\rangle</math>.
 
== Stejnoměrná spojitost ==
Mějme funkci <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, pro niž k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje <math>\delta>0</math> takové, že pro libovolné dva body <math>x_1, x_2</math> z intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> splňující <math>|x_1-x_2|<\delta</math> platí <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>, pak říkáme, že funkce <math>f(x)</math> je [[stejnoměrně spojitá funkce|stejnoměrně spojitá]] na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>.
 
=== Weierstrassova věta ===
Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v <math>\langle a,b\rangle</math> [[posloupnost|posloupností]] [[polynom|polynomů]], tzn. k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje polynom <math>P(x)</math> takový, že <math>|f(x)-P(x)|<\varepsilon</math> pro všechna <math>x \in \langle a,b\rangle</math>.
 
=== Absolutně spojitá funkce ===
Funkci <math>f(x)</math> označíme jako [[absolutně spojitá funkce|absolutně spojitou]] na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, jestliže k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje takové <math>\delta>0</math>, že pro každý systém intervalů <math>\langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, \ldots, \langle a_n,b_n\rangle,</math> pro který je <math>a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b</math>, a <math>\sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < \delta</math> platí <math>\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon</math>.
 
Je-li funkce <math>f(x)</math> absolutně spojitá na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu [[Totální variace|konečnou variaci]].
 
== Příklady ==
[[Soubor:Floor function.svg|thumb|Funkce ''[[dolní celá část]]'', nespojitá v každém celém čísle]]
*Všechny [[polynomická funkce|polynomické funkce]], [[exponenciální funkce]], [[sinus]] a [[kosinus]] a funkce [[absolutní hodnota]] jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
*Extrémním příkladem je tzv. [[Dirichletova funkce]], která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.
 
== Vlastnosti ==
* Má-li funkce <math>f(x)</math> v bodě <math>a</math> '''konečnou''' [[derivace|derivaci]], pak je v bodě ''a'' také spojitá.
* Pokud je funkce <math>f(x)</math> spojitá v bodě <math>a</math> a funkce <math>g(y)</math> spojitá v bodě <math>b = f(a)</math>, pak [[složená funkce]] <math>g(f(x))</math> je spojitá v bodě <math>a</math>.
[[ka:უწყვეტობა]]
[[ko:연속함수]]
[[la:Continuitas (mathematica)]]
[[lt:Tolydi funkcija]]
[[mk:Непрекинатост на функција]]
169 079

editací