Wikipedie

Grupoid (teorie kategorií): Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m +iw
Bez shrnutí editace
Řádek 1:
'''Grupoid (teorie kategorií)''' je pojem z [[matematika|matematiky]], přesněji z homotopické teorie a [[teorie kategorií|teorie kategorií]]. Grupoid zachycuje vlastnosti několika matematických struktur souvisejících s (neúplnými) symetriemi, konexemi, homotopií ad. Lze pomocí něj zachytit ale i strukturu exitacíexcitací a deexitacídeexcitací elektronů v obalu atomu.
 
== Terminologická poznámka ([[Homonymum|homonymie]]) ==
Řádek 10:
 
=== Grupa ===
[[Grupa|Grupa]] je grupoid s jedním objektem. Objasněme tento příklad. Nechť <math>K</math> je kategorie s jedním objektem <math>*</math>, v níž každý [[kategorie|morfizmus]] je [[Izomorfismus|izomorfizmus]]. Sestrojme grupu <math>G</math>, jejíž prvky <math>G</math>) tvoříjsou právě všechny morfizmy z <math>K</math>, tj. prvkyelementy <math>Mor(K)</math>. Pro <math>a, b \in G</math> definujme <math>a b \in G</math> následovně. Jelikož <math>a, b \in Mor(K)</math>, jsou <math>a: * \to *</math> i <math>b:*\to *</math> morfizmy, které lze skládat (viz [[Teorie kategorií|teorii kategorií]]). Výsledkem je morfizmus <math> c \in Mor(K)</math>, tj. prvek z <math>G</math>. Neutrální prvek v <math>G</math> je definitoricky identita <math>id_*id</math> na <math>*</math>, která je dle definice kategorie jediná. Inverze k <math>a \in G</math> se definuje jako inverzní morfizmus k <math>a \in Mor(K)</math>, který existuje dle definice grupoidu a je jediný dle definice kategorie. [[Asociativita|Asociativita]] na <math>G</math> definovaného násobení plyne snadno z definice kategorie, kde je asociativita podmínkou, která musí být splněna pro operaci skládání morfizmů.
 
Obráceně lze ke každé grupě přiřadit jednoprvkový grupoid a tato konstrukce je inverzní ke konstrukce popsané v odstavci výše.
Řádek 17:
Představme si, že máme stěnu pokrytou dlaždičkami stejného obdélníkového tvaru o rozměrech 3 krát 4. Předpokládejme, že dlaždičky vyplňují právě obdélníkovou síť skládající se z např. 5 krát 7 dlaždiček. Zaveďme [[Kartézská soustava souřadnic|kartézskou souřadnou soustavu]] v rovině dlaždiček tak, že její počátek splývá s levým dolním rohem levé dolní dlaždičky, horizontální osa je rozdělena na 3 . 5 = 15 a vertikální na 4 . 7 = 28 dílků. Definujme grupoid <math>K</math> symetrie dlaždiček následovně.
Označme množinu všech dlaždiček symbolem <math>D</math>. Pokud <math>x, y \in D</math> (tj. <math>x, y</math> jsou dlaždičkami), pak <math>t_{x,y}</math> buď [[Translace|translace]] zadaná přičítáním takového vektoru <math>t\in \mathbb{R}^2</math>, jímž posuneme-li dlaždičku <math>x</math>, dostaneme dlaždičku <math>y.</math> Objekty <math>Ob(K)</math> kategorie <math>K</math> definujme předpisem
<math>Ob(K):=\{(x,t,y); x, y\in D \mbox{ a } t=t_{x,y}\}</math>, tj. pokud <math>x, y \in D</math>, pak <math>(x,t,y) \in Ob(K), </math> právě tehdy, když <math>y</math> vznikne posunutím (translaci) <math>x</math> o vektor <math>t</math>. Pro <math>x, y \in D</math> definujme <math>Mor(x,y):=\{t_{x,y}\}</math>.
Pokud <math>(x,t,y), (y',t',z) \in Ob(K)</math> definujme prvek <math>(x,t,y) \circ (y', t', z):=(x, t+t',z) \in K</math>, právě tehdy když <math>y=y'</math>. Je zřejmé, že vzniklá množina je grupoid, neboť všechny translace lze invertovat (translace inverzní k translaci zadané vektorem <math>t</math> je translace zadaná vektorem <math>-t</math>).
 
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Grupoid_(teorie_kategorií)“