Verze z 9. 6. 2009, 17:03 editovat RedBot (diskuse \| příspěvky) 31 920 editací m robot změnil: yo:Áljẹ́brà gbígbọrọ ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 24. 6. 2009, 01:39 editovat zrušit editaci Xqbot (diskuse \| příspěvky) Roboti 174 921 editací m robot přidal: bg:Линейна алгебра; cosmetic changes Přejít na další porovnání →
Řádek 1: '''Lineární algebra''' je odvětví [[matematika\|matematiky]], které se zabývá [[vektor]]y, [[vektorový prostor\|vektorovými prostory]], [[soustava lineárních rovnic\|soustavami lineárních rovnic]] a [[lineární transformace\|lineárními transformacemi]]. Jelikož vektorové prostory jsou důležitou součástí moderní matematiky, je lineární [[algebra]] důležitou součástí jak [[abstraktní algebra\|abstraktní algebry]], tak [[funkcionální analýza\|funkcionální analýzy]]. Aplikovaná lineární algebra se využívá například v [[Přírodní vědy\|přírodních vědách]] nebo [[sociální vědy\|sociálních vědách]]. == Historie == Moderní lineární algebra vznikla v letech [[1843]] a [[1844]]. V roce 1843 vymyslel [[William Rowan Hamilton]] [[kvaternion]]y. V roce 1844 [[Hermann Grassmann]] publikoval svou knihu ''Die lineale Ausdehnungslehre''. V roce [[1857]] pak [[Arthur Cayley]] publikoval svou ideu [[matice\|matic]] (velikosti 2×2). == Základní úvod == Lineární algebra má svoje počátky ve studiu [[Vektor\|vektorů]] v [[Kartézská soustava souřadnic\|kartézském]] dvourozměrném a trojrozměrném prostoru. Obecně jsou ale vektory jakékoliv objekty, které lze dobře sčítat a násobit číslem (viz [[vektorový prostor]]). Řádek 13: Takto uzavřenou množinu nazýváme [[vektorový prostor]]. Jak vidíte, podstatnou vlastností je, že pokud sečteme dva vektory nebo vynásobíme vektor číslem, získáme zase vektor. Může existovat konečná skupina vektorů takových, že sčítáním různých násobků těchto vektorů lze získat jakýkoliv libovolný vektor. Např. tři navzájem kolmé úsečky v kartézské soustavě třírozměrného prostoru. Takovéto vektory nazýváme generátory. Pokud navíc platí, že žádný z generátorů nelze nakombinovat z ostatních, nazýváme je [[báze\|bází]]. Počet vektorů v bázi nazýváme [[dimenze]]. Jak snadno uhádnete, vektorový prostor orientovaných úseček v rovině má [[dimenze\|dimenzi]] 2 a v prostoru 3. S polynomy je to složitější. Lze dokázat, že konečná báze neexistuje. Pokud se však omezíme na [[polynom~~\|polynomy~~]]y stupně nejvýše 2 a nulový polynom, bází se stane např. trojice 1, x, x<sup>2</sup>. Označme je p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub> a p<sub>3</sub>. Pak jakýkoliv polynom stupně nejvýše 2 lze nakombinovat z těchto polynomů:<br /> <math>5 {x^2} + 2 x + 3 = 5 p_3(x) + 2 p_2(x) + 3 p_1(x).</math><br /> To ale není jediná báze, těch je nekonečně mnoho.<br /> Např. pro q<sub>1</sub>(x) = x<sup>2</sup> + x + 1, q<sub>2</sub>(x) = - x<sup>2</sup> + x + 1, q<sub>3</sub>(x) = x - 1 je trojice q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub> a q<sub>3</sub> též bází. Pak<br /> <math>5 {x^2} + 2 x + 3 = \frac{15}{4} q_1 - \frac{5}{4} q_2 - \frac{1}{2} q_3.</math><br /> Řádek 34: Je-li [[báze (algebra)\|báze]] vektorového prostoru pevně zvolená, pak lze každou lineární transformaci zapsat ve formě [[matice]]. Detailní zkoumání vlastností matic a [[algoritmus\|algoritmů]] prováděných na maticích, včetně výpočtu [[determinant~~\|determinantu~~]]u a [[vlastní vektor\|vlastních vektorů]] a [[vlastní číslo\|čísel]] matice, je součástí lineární algebry. Obecná metoda, kdy je nalezen lineární způsob pohledu na nějaký problém, ten je pak vyjádřen v termínech lineární algebry a je vyřešen například pomocí matic, je jedna z nejšířeji použitelných metod v matematice. == Související články == * [[Vektorový prostor]] * [[Vektor]] Řádek 46: * [[Lineární zobrazení]] == Externí odkazy == *[http://math.feld.cvut.cz/olsak/linal.html Petr Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární] Řádek 53: [[ar:جبر خطي]] [[bg:Линейна алгебра]] [[bn:রৈখিক বীজগণিত]] [[bs:Linearna algebra]]

Lineární algebra: Porovnání verzí