Keplerova úloha: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m interwiki |
musí se ještě dokončit |
||
Řádek 53:
<math>\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} </math>
První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě <math>l</math>, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna <math>l/2</math>). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.
Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádo pro proměnnou <math>r</math>.
<math>\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} </math>
Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné <math>u=\frac{1}{r}</math>, potom totiž máme:
<math>\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}</math>
Označíme-li <math>u'=\frac{du}{d\varphi}</math>, dostáváme
<math>\ddot{r}=-l u'' \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u''</math>.
Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec
<math>u''+u=\frac{GM}{l^2}</math>,
Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar
<math>u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}</math>
Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je
<math>r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}</math>
Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích.
Přičemž <math>p</math> představuje parametr kuželosečky a <math>\varepsilon</math> její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyberbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita <math>\varepsilon < 1</math>. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.
Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy
<math>T=\frac{2\pi a b}{l}</math>,
kde <math>a</math> a <math>b</math> je velká a malá poloosa elipsy.
Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí
<math>2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}</math>,
dále pak dle definice výše
<math>p=\frac{l^2}{GM}</math>
nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu
<math>b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}</math>.
Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme
<math>T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}</math>
Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.
<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math>
Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovi zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.
Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloho těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu.
V tomto případě je výhodnější místo závislosti <math>\varphi</math> na čase zkoumat závislost excentrické anomálie <math>E</math>, ktará je pro tento účel výhodnější parametrizací.
Pro elipsu přitom platí
<math>x=a\cos E-\varepsilon a</math>
<math>y=b\sin E</math>
Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.
[[en:Kepler problem]]
| |||