Axiom výběru: Porovnání verzí

Přidáno 29 bajtů ,  před 12 lety
m
robot přidal: et:Valikuaksioom; cosmetic changes
m (robot přidal: et:Valikuaksioom; cosmetic changes)
'''Axiom výběru''' (ozn. '''(AC)''') je [[axiom]] často přidávaný k obvyklým axiomům [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy]] [[teorie množin]] (ZF). Poprvé jej formuloval [[Ernst Zermelo]] v roce [[1904]].
 
== Formulace ==
Tento axiom tvrdí:
<blockquote>Pro každý neprázdný soubor neprázdných [[množina|množin]] existuje [[funkce (matematika)|funkce]], která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek.</blockquote>
: <math>(\forall I\neq \emptyset) (\forall i) (i\in I \implies A_{i} \neq \emptyset) \implies (\exists f (f\ \mbox{je funkce} \, \and \, \operatorname{dom}(f)=I \, \and \, (\forall i) (i \in I \implies f(i) \in A_{i})))</math>.
 
== Motivace pro přijetí AC ==
Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli [[algoritmus|algoritmu]], kterým by tento výběr prvků mohl být proveden, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně). Na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný – i podle selského rozumu je zřejmé, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory „hodně nekonečné“ ([[nespočetná množina|nespočetné]], bez [[dobře uspořádaná množina|dobrého uspořádání]]).
 
V některých odvětvích [[matematika|matematiky]], zejména v nekonečné [[kombinatorika|kombinatorice]], ale například i v [[matematická analýza|matematické analýze]], se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín. S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem „učesávají“ svět teorie množin – nejznámějšími z nich jsou [[princip maximality]] a [[princip dobrého uspořádání]]. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.
 
== Motivace pro odmítnutí AC ==
Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například [[konstruktivismus|konstruktivisté]]) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom sumy|axiom sumy]], [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiom potence]], [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom dvojice|axiom dvojice]]). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá – je tedy spíše „čistě existenční“ než „konstrukční“.
 
Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s [[axiom konstruovatelnosti|axiomem konstruovatelnosti]].
 
== Nezávislost AC na axiomech ZF ==
(AC) je [[bezespornost|bezesporný]] neboli [[konzistentnost|konzistentní]] s ostatními [[axiom]]y Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom [[model (logika)|modelu]] teorie množin, a to v univerzu [[konstruovatelná množina|konstruovatelných množin]], což dokázal v roce [[1940]] [[Kurt Gödel]]. V tomto modelu platí dokonce [[axiom silného výběru]] a dále například [[zobecněná hypotéza kontinua]].
 
[[en:Axiom of choice]]
[[es:Axioma de elección]]
[[et:Valikuaksioom]]
[[fa:اصل موضوع انتخاب]]
[[fr:Axiome du choix]]
171 649

editací