Verze z 28. 4. 2009, 22:17 editovat Bab dz (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 9 486 editací m →‎Vlastnosti a příklady kardinálních čísel: pomlčka ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 28. 4. 2009, 22:20 editovat zrušit editaci Bab dz (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 9 486 editací m pomlčky Přejít na další porovnání →
Řádek 25: Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá: # každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál # [[dobře uspořádaná množina\|dobře uspořádanou množinu]] lze [[Izomorfismus\|izomorfně]] zobrazit na nějaký ordinál a ten pak vzájmeně jednoznačně na nějaký kardinál -– to znamená, že dobře uspořádanou množinu lze zobrazit vzájemně jednoznačně na nějaký kardinál # pokud přijmu [[axiom výběru]], pak z [[Princip dobrého uspořádání\|principu dobrého uspořádání]] plyne, že každou množinu lze dobře uspořádat -– a tím i zobrazit na nějaký kardinál. # pokud nepřijmu axiom výběru nebo nějakou jeho obdobu, mám bohužel smůlu a v mém světě množin mohou existovat jedinci, pro které nelze mohutnost definovat výše uvedeným způsobem Řádek 36: Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <math> \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další: * ordinální čísla <math> \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná -– nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <math> \omega \,\! </math> * ordinální čísla <math> \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná * ordinální čísla <math> \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná Řádek 42: * dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <math> \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné Jak je vidět, za <math> \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál -– pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika\|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem. == Funkce alef == Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <math> Cn - \omega \,\! </math> -– také existuje izomorfismus mezi ní a <math> On \,\! </math>.<br /> Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy -– alef, a značena <math> \aleph \,\! </math>. * <math> \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál -– množina přirozených čísel * <math> \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál * pro každý ordinál <math> \alpha \,\! </math> existuje kardinál <math> \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <math> \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math> Řádek 57: Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <math> \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <math> \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti: * na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota -– <math> \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty <math> \aleph_0 \,\! </math>) * na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <math> Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> -– v takovýchto pevných bodech platí <math> \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math> == Kardinální aritmetika == Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny -– rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek [[kardinální aritmetika]] == Související články ==

Kardinální číslo: Porovnání verzí