Kardinální číslo: Porovnání verzí

Přidáno 20 bajtů ,  před 10 lety
m
pomlčky
m (pomlčky)
Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:
# každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
# [[dobře uspořádaná množina|dobře uspořádanou množinu]] lze [[Izomorfismus|izomorfně]] zobrazit na nějaký ordinál a ten pak vzájmeně jednoznačně na nějaký kardinál - to znamená, že dobře uspořádanou množinu lze zobrazit vzájemně jednoznačně na nějaký kardinál
# pokud přijmu [[axiom výběru]], pak z [[Princip dobrého uspořádání|principu dobrého uspořádání]] plyne, že každou množinu lze dobře uspořádat - a tím i zobrazit na nějaký kardinál.
# pokud nepřijmu axiom výběru nebo nějakou jeho obdobu, mám bohužel smůlu a v mém světě množin mohou existovat jedinci, pro které nelze mohutnost definovat výše uvedeným způsobem
 
 
Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <math> \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další:
* ordinální čísla <math> \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná - nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <math> \omega \,\! </math>
* ordinální čísla <math> \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
* ordinální čísla <math> \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
* dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <math> \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné
 
Jak je vidět, za <math> \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál - pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.
 
== Funkce alef ==
Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <math> Cn - \omega \,\! </math> - také existuje izomorfismus mezi ní a <math> On \,\! </math>.<br />
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy - alef, a značena <math> \aleph \,\! </math>.
 
* <math> \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál - množina přirozených čísel
* <math> \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál
* pro každý ordinál <math> \alpha \,\! </math> existuje kardinál <math> \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <math> \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math>
 
Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <math> \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <math> \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti:
* na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota - <math> \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty <math> \aleph_0 \,\! </math>)
* na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <math> Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> - v takovýchto pevných bodech platí <math> \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math>
 
== Kardinální aritmetika ==
Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny - rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek [[kardinální aritmetika]]
 
== Související články ==