Neutrální prvek: Porovnání verzí

Přidáno 677 bajtů ,  před 13 lety
pokus o vylepšení definice
m (robot přidal: eo:Neŭtra elemento)
(pokus o vylepšení definice)
V [[matematikaalgebra|matematicealgebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina|množiny]] ''SA'' s [[binární operace|binární operací]] <math>\otimes</math> takový prvek, kterýpro nechávánějž ostatníplatí, prvkyže navýsledkem místěoperace neutrálního prvku a libovolného ''x &isin; A'' je ''x''.
 
Tzn. <math>e \otimes x = x</math> (levý neutrální prvek) a <math>x \otimes e = x</math> (pravý neutrální prvek).
 
V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <math>\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' (<math>1 \cdot x = x</math>).
V případě použití aditivního značení, např. <math>+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' (<math>0 + x = x \!</math>).
Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)|identita]]'''.
 
== Formální definice ==
 
Buď ''A'' množina a <math>\otimes</math> operace na ''A''.
Buď ''S'' množina a * operace na ''S''. Pak prvek ''e'' z ''S'' se nazývá '''levý neutrální''', platí -li ''e''&nbsp;*&nbsp;''a''&nbsp;=&nbsp;''a'' pro všechny ''a'' z ''S''. Prvek ''e'' se nazývá '''pravý neutrální''', platí-li ''a''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''a'' pro všechna ''a'' z ''S''. Pokud je ''e'' pravý i levý neutrální, nazývá se jednoduše '''neutrální''', někdy též '''[[identita (matematika)|identita]]'''.
 
*Prvek ''e'' z ''A'' se nazývá '''levý neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
 
*Prvek ''e'' z ''A'' se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
 
*Prvek ''e'' z ''A'' se nazývá '''neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.
 
== Příklady ==
*Pokud (''SA'',*<math>\otimes</math>) jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálníneutrálním prvekprvkem.
*Pokud (''SA'',*<math>\otimes</math>) jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
*Pokud (''SA'',*<math>\otimes</math>) jsou ''n''-rozměrné čtvercové [[matice]] se sčítáním, neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
*Pokud (''SA'',*<math>\otimes</math>) jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
*Pokud (''SA'',*<math>\otimes</math>) je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z množiny ''M'' do sebe sama a *<math>\otimes</math> je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná ''<math>\forall x \in M : id(x)'' = ''x'' pro každé ''x'' z ''M''</math>.
*Pokud má ''SA'' pouze dva prvky ''e'' a ''f'' a operace * <math>\otimes</math> je definována tak, že ''<math>e''&nbsp;*&nbsp;'' \otimes e''&nbsp; = ''f''&nbsp;*&nbsp;'' \otimes e''&nbsp; =&nbsp;'' e''</math> a ''<math>f''&nbsp;*&nbsp;'' \otimes f''&nbsp; = ''e''&nbsp;*&nbsp;'' \otimes f''&nbsp; =&nbsp;'' f''</math>, jsou oba prvky ''e'' a ''f'' levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
 
Jak ukazuje poslední příklad, (''SA'',*<math>\otimes</math>) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny ''A'' je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině ''SA'' levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak ''<math>l''&nbsp; =&nbsp;'' l''&nbsp;*&nbsp;'' \otimes r''&nbsp; =&nbsp; r</math>. V množině ''rA''. Především tedy v množině může být jen jeden neutrální prvek.
 
==Související články==
168

editací