Levi-Civitův symbol: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 67:
</math>
vždy platí v ''n'' dimenzích.
==Příklady==
1. Determinant <math>n\times n</math> matice <math>A=(a_{ij})</math> lze napsat jako
::<math> \det A = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},</math>
kde každé <math>i_l</math> se sečte přes <math>1,\ldots, n.</math>
Ekvivalentně můžeme napsat
::<math> \det A = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},</math>
kde nyní každé <math>i_l</math> a každé <math>j_l</math> se sečte přes <math>1,\ldots, n</math>.
2. Jestliže <math>A=(A^1, A^2, A^3)</math> a <math>B=(B^1, B^2, B^3)</math> jsou vektory v <math>R^3</math>, pak <math>i</math>tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna
::<math> (A\times B)^i = \varepsilon^{ijk} A^j B^k.</math>
například první komponenta <math>A\times B</math> je <math>A^2 B^3-A^3 B^2</math>. Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že <math>A\times B = -B\times A</math>. Dále jestliže <math>C=(C^1, C^2, C^3)</math> je vektor, podobně jako <math>A</math> a <math>B</math>, pak trojčlenný skalární součin
::<math> A\cdot(B\times C) = \varepsilon^{ijk} A^i B^j C^k.</math>
Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například <math>A\cdot(B\times C)= -B\cdot(A\times C)</math>.
3. Předpokládejme, že <math>F=(F^1, F^2, F^3)</math> je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině <math>R^3</math> s katézskými souřadnicemi <math>x=(x^1, x^2, x^3)</math>. Pak <math>i</math>tá komponenta rotace <math>F</math> se rovná
::<math> (\nabla \times F)^i(x) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(x).</math>
| |||