Potenční množina: Porovnání verzí

Přidáno 8 bajtů ,  před 12 lety
m
PM se značí spíš psacím P
m (Robot: úpravy šablony portálu Matematika)
m (PM se značí spíš psacím P)
'''Potenční množina''' množiny <math>X \,\! </math> (značí se <math> \mathbbmathcal{P}(X) \,\! </math> nebo též <math>2^X \,\! </math>) je taková [[množina]], která obsahuje všechny [[podmnožina|podmnožiny]] množiny <math>X \,\! </math>.
 
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiomu potenční množiny]].
== Příklad ==
* <math> A = \{ 1,2,3 \} \,\! </math>
* <math> \mathbbmathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\! </math>
 
== Vlastnosti ==
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek [[prázdná množina|prázdnou množinu]], tj.<br />
<math> (\forall X)( \emptyset \isin \mathbbmathcal{P}(X)) \,\! </math>
 
Potenční množina množiny <math> X \,\! </math> obsahuje <math> X \,\! </math> jako svůj prvek, tj.<br />
<math> (\forall X)(X \isin \mathbbmathcal{P}(X)) \,\! </math>
 
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno [[uspořádání]] pomocí relace „být [[podmnožina|podmnožinou]]“ <math> \subseteq \,\! </math>. Toto uspořádání není [[lineární uspořádání|lineární]] - například množiny <math> \{ 1,3 \} \,\! </math> a <math> \{ 2,3 \} \,\! </math> z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou [[potenční algebra]], která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o [[úplný svaz]].
 
== Mohutnost potenční množiny ==
* Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> |X| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> |\mathbbmathcal{P}(X)| = 2^n \,\! </math>.
* Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathbbmathcal{P}(X) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> X \,\! </math>. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost <math> \mathbb{P}(\mathbbmathcal{P}(X)) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> \mathbbmathcal{P}(X) \,\! </math> atd.
 
== Související články ==