Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Robot automaticky nahradil text: (-[Mm]atematický pahýl +Pahýl - matematika) |
Přidán důkaz, opraven vzorec |
||
Řádek 30:
== Zobecnění ==
Zobecněním Lagrangeovy věty je [[Cauchyova věta o střední hodnotě]]:
:''Nechť funkce <math>f(x), g(x) \,</math> jsou spojité na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, mají v každém bodě <math>x \,</math> intervalu <math>(a,b) \,</math> derivaci a nechť pro všechna <math>x \in (a,b)</math> platí <math>g^\prime(x) \neq 0</math>. Pak existuje bod <math>c \in (a,b)</math> takový, že platí <math>\frac{f^\prime(
== Důkaz ==
Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou <math>g(x)=x \,</math>. Protože <math>g^\prime(x)\neq 0</math> pro všechna <math>x \in (a,b)</math>, je podle negace [[Rolleova věta|Rolleovy věty]] ([[Rolleova věta#Důkaz|důkaz]]) nutně <math>g(a) \neq g(b)</math> (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci
<math>F(x)=-f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>.
Funkce <math>F \,</math> je zřejmě spojitá na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, má derivaci na intervalu <math>(a,b) \,</math> a <math>F(a)=F(b)=-f(a) \,</math>. <math>F \,</math> splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy <math>c \in (a,b)</math> takové, že
<math>0=F^\prime(c)=-f^\prime(c)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(c)</math>
Dle předpokladu je <math>g^\prime(c) \neq 0</math> a tedy
<math>\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>.
== Související články ==
| |||