Verze z 27. 3. 2007, 22:00 editovat Glivi (diskuse \| příspěvky) 3 556 editací m rekateg, názvy sekcí ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 13. 6. 2008, 01:33 editovat zrušit editaci Lukax (diskuse \| příspěvky) 1 164 editací zformátování Přejít na další porovnání →
Řádek 1: '''Princip dobrého uspořádání''' (značený někdy také '''WO''' z anglického Well-ordering theorem) z historických důvodů nazývaný také '''Zermelova věta''' je následující tvrzení z oboru [[teorie množin]]:~~<br />~~ : Každou množinu lze [[Dobře uspořádaná množina\|dobře uspořádat.]]~~<br />~~. Nebo přesněji:<br />▼ Pro každou množinu <math> x \,\!</math> existuje relace <math> R \subseteq x \times x \,\!</math>, která je dobrým uspořádáním množiny <math> x \,\!</math>.▼ ▲Nebo přesněji:~~<br />~~ ▲: Pro každou množinu <math> x \,\!</math> existuje relace <math> R \subseteq x \times x \,\!</math>, která je dobrým uspořádáním množiny <math> x \,\!</math>. == Historie == '''Princip dobrého uspořádání''' poprvé formuloval a zároveň dokázal, že je důsledkem [[axiom výběru\|axiomu výběru]] (odtud název Zermelova „věta“), [[Ernst Zermelo]] roku [[1904]] v práci ''Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann''. Ve své době tento [[Matematický důkaz\|důkaz]] vyvolal mezi [[matematik]]y velký odpor pro způsob, jakým v něm bylo užito [[axiom výběru\|axiomu výběru]].▼ ▲~~'''~~Princip dobrého uspořádání~~'''~~ poprvé formuloval a zároveň dokázal, že je důsledkem [[axiom výběru\|axiomu výběru]] (odtud název Zermelova „věta“), [[Ernst Zermelo]] roku [[1904]] v práci „''Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann''“. Ve své době tento [[Matematický důkaz\|důkaz]] vyvolal mezi [[matematik]]y velký odpor pro způsob, jakým v něm bylo užito [[axiom výběru\|axiomu výběru]]. ~~== Důkaz principu dobrého uspořádání ==~~ '''Princip dobrého uspořádání''' nelze dokázat ani vyvrátit ze základních [[axiom]]ů [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] - jedná se o tvrzení [[Nezávislost (matematika)\|nezávislé]] na [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|ZF]]. Poměrně snadno lze dokázat, že '''princip dobrého uspořádání''' vyplývá z [[Axiom výběru\|axiomu výběru]] a naopak - axiom výběru vyplývá z '''principu dobrého uspořádání'''. Jedná se tedy o dvě ekvivalentní tvrzení.▼ == Důkaz == ▲~~'''~~Princip dobrého uspořádání~~'''~~ nelze dokázat ani vyvrátit ze základních [[axiom]]ů [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] -— jedná se o tvrzení [[Nezávislost (matematika)\|nezávislé]] na [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|ZF]]. Poměrně snadno lze dokázat, že ~~'''~~princip dobrého uspořádání~~'''~~ vyplývá z [[Axiom výběru\|axiomu výběru]] a naopak - axiom výběru vyplývá z ~~'''~~principu dobrého uspořádání~~'''~~. Jedná se tedy o dvě ekvivalentní tvrzení. == Význam == Přímo z axiomů [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|ZF]] lze ukázat, že každá dobře uspořádaná množina je [[Izomorfismus\|izomorfní]] s některým [[Ordinální číslo\|ordinálním číslem]] (tj. „hodně podobná“ některému ordinálnímu číslu -— má stejnou strukturu).~~<br~~ />Společně s '''principem dobrého uspořádání''' tak dostáváme výsledek, podle kterého lze každou (sebevětší, sebestrašlivější, sebenepřehlednější) množinu zobrazit (a to dokonce izomorfně — se zachováním [[uspořádání]]) na některé ordinální číslo.▼ Důsledkem tohoto výsledku (je třeba znovu ~~zdůrazňuji~~zdůraznit, že dokazatelného pouze z axiomu výběru, to znamená v [[ZFC]], nikoliv v [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|ZF]]) je mimo jiné:~~<br />~~▼ ~~== Význam principu dobrého uspořádání ==~~ ▲Přímo z axiomů [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|ZF]] lze ukázat, že každá dobře uspořádaná množina je [[Izomorfismus\|izomorfní]] s některým [[Ordinální číslo\|ordinálním číslem]] (tj. „hodně podobná“ některému ordinálnímu číslu - má stejnou strukturu).<br /> Společně s '''principem dobrého uspořádání''' tak dostáváme výsledek, podle kterého lze každou (sebevětší, sebestrašlivější, sebenepřehlednější) množinu zobrazit (a to dokonce izomorfně - se zachováním [[uspořádání]]) na některé ordinální číslo.<br /> ▲Důsledkem tohoto výsledku (znovu zdůrazňuji, že dokazatelného pouze z axiomu výběru, to znamená v [[ZFC]], nikoliv v [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin\|ZF]]) je mimo jiné:<br /> * každá množina má [[mohutnost]] shodnou s některým [[kardinální číslo\|kardinálním číslem]] * každé dvě množiny jsou porovnatelné z hlediska jejich mohutnosti

Zermelova věta: Porovnání verzí