Kompaktní množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m typo |
doplnena partie metrickych prostoru vcetne vlastnosti |
||
Řádek 3:
V [[Euklidovský prostor|Euklidovských prostorech]] jsou kompaktní množiny právě [[omezená množina|omezené]] a [[uzavřená množina|uzavřené]] [[podmnožina|podmnožiny]]. Například v množině [[reálné číslo|reálných čísel]] '''R''' je uzavřený [[Interval (matematika)|interval]] [0, 1] kompaktní množinou, ale množina [[celé číslo|celých čísel]] '''Z''' nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.
Na [[metrický prostor|metrických prostorech]] lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí [[posloupnost (matematika)|posloupnost]]í: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat [[konvergentní posloupnost|posloupnost konvergentní]] (v této množině), tuto vlastnost nazýváme [[sekvenciální kompaktnost]]. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a [[omezená množina|omezená]], (ovšem pozor, opačná implikace obecně neplatí).
V konečnědimenzionálních [[normovaný vektorový prostor|normovaných vektorových prostorech]] je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.
Řádek 11:
Prostor se označuje jako ''lokálně kompaktní'', existuje-li ke každému jeho [[bod]]u kompaktní [[okolí (matematika)|okolí]].
Kompaktní metrický prostor lze ekvivalentne definovat i pomocí následujících podmínek:
* Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel nabývá svého maxima i minima.
* Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel je omezená.
* Z každého spočetného pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné podpokrytí.
== Příklady kompaktních množin ==
Řádek 20 ⟶ 25:
== Vlastnosti ==
* Kompaktní podmnožina [[Hausdorffův prostor|Hausdorffova prostoru]] je [[uzavřená množina|uzavřená]].▼
* Uzavřená [[podmnožina]] kompaktního prostoru je kompaktním prostorem.
* Při [[spojité zobrazení|spojitém zobrazení]] je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina.
* Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený.
▲* Kompaktní podmnožina [[Hausdorffův prostor|Hausdorffova prostoru]] je [[uzavřená množina|uzavřená]].
* Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá.
== Související články ==
| |||