Iracionální číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Mohutnost množiny iracionálních čísel: Ještě maličkost. značky: editace z mobilu editace z mobilního webu |
Funkce návrhy odkazů: Přidány 3 odkazy. značky: editace z Vizuálního editoru editace z mobilu editace z mobilního webu Editační tipy Doporučeno: Přidaný odkaz |
||
Řádek 1:
V [[matematika|matematice]] je '''iracionální číslo''' (řecky ''arretos'' či ''alogos'') každé [[reálné číslo]], které není [[racionální číslo|racionálním číslem]], tedy takové číslo, které nelze vyjádřit jako [[zlomek]], tedy podíl dvou [[celé číslo|celých čísel]] ''a''/''b'', kde ''a'' a ''b'' jsou celá čísla a ''b'' není [[nula]]. Iracionální číslo má neukončený a neperiodický desetinný rozvoj.
Asi nejstarším a nejjednodušším příkladem iracionálního čísla je <math>\sqrt{2}</math>. Její iracionalitu lze dokázat celkem jednoduše sporem pomocí základních vlastností dělitelnosti (viz níže). Obecně platí, že odmocniny z přirozených čísel jsou buď [[Přirozené číslo|přirozená]] anebo iracionální čísla, což lze snadno dokázat pomocí rozkladu na [[Prvočíslo|prvočísla]] ([[základní věta aritmetiky|základní věty aritmetiky]]).
Také [[Logaritmus|logaritmy]] jsou většinou iracionální, elementárně lze dokázat např. iracionalitu čísla <math>\log{2}</math>. Míníme dekadický logaritmus, pro přirozený <math>\ln{2}</math> to platí rovněž, důkaz je však podstatně složitější. Rovněž hodnoty exponenciálních, goniometrických apod. transcendentních funkcí jsou často iracionální čísla.
Mezi nejznámější iracionální čísla patří číslo [[pí (číslo)|<math>\pi</math>]], vyjadřující délku kružnice s jednotkovým průměrem nebo [[Eulerovo číslo|Eulerovo číslo e]], základ přirozených logaritmů. Tato čísla jsou dokonce [[transcendentní číslo|transcendentní]] – nejsou kořeny žádné algebraické rovnice (rovnice, v níž jsou koeficienty racionální čísla).
Řádek 14:
# Předpokládejme, že <math>\sqrt{2}</math> je racionální číslo, což znamená, že by měla existovat [[přirozené číslo|přirozená čísla]] <math> a, b</math> taková, že <math>\frac{a}{b} = \sqrt{2}</math>, přičemž budeme předpokládat, že daná čísla <math>a,b</math> nemají společného [[Dělení|dělitele]]
# Umocněním obou stran <math>\frac{a}{b} = \sqrt{2}</math> dostaneme <math>\frac{a^2}{b^2} = 2</math>, neboli <math>a^2 = 2 b^2</math>.
# Podle předchozího bodu je <math>a^2</math> [[Sudá a lichá čísla|sudé číslo]]. Využijeme-li toho, že [[druhá mocnina]] sudého čísla je opět sudé číslo, zatímco druhá mocnina [[Sudá a lichá čísla|lichého čísla]] je lichým číslem, můžeme tvrdit, že číslo <math>a</math> je sudé.
# Je-li číslo <math>a</math> sudé, je možné jej vyjádřit jako <math>a = 2 r</math>, kde <math>r</math> je nějaké přirozené číslo.
# Dosadíme-li <math>a = 2 r</math> do vztahu <math>a^2 = 2 b^2</math>, dostaneme <math>4 r^2 = 2 b^2</math>, což lze upravit na <math>2 r^2 = b^2</math>.
| |||