Rovnice vedení tepla: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m portály |
m {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 3:
== Matematická rovnice vedení tepla ==
Matematická formulace rovnice nestacionárního vedení tepla je
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}.</math>
Řádek 15:
==== Homogenní izotropní materiál ====
Pro [[Homogenní látka|homogenní]] [[Izotropie|izotropní]] materiál a součinitel tepelné vodivosti nezávislý na teplotě se rovnice redukuje na <math display="block">\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T,</math>kde <math>\nabla^2</math> je [[Laplaceův operátor]] a <math>\alpha = \frac{\lambda }{\rho c}</math> je tepelná difuzivita. Tepelnou difuzivitu je možno chápat jako schopnost materiálu vyrovnávat teplotu.
==== Anizotropní materiál ====
Pro anizotropní materiál je součinitel tepelné vodivosti obecně [[
\frac{\partial T}{\partial x_j}\right),</math>kde <math>(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z).</math> Je-li <math>\lambda_{ij}</math> symetrický tenzor, je možno vhodnou volbou souřadné soustavy docílit toho, že je tento tenzor představován [[Diagonální matice|diagonální maticí]], což redukuje rovnici na <math display="block">\rho c\frac{\partial T}{\partial t} = \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\lambda_{ii} \frac{\partial T}{\partial x_i}\right)</math>neboli (po rozepsání sumy) <math display="block">\rho c\frac{\partial T}{\partial t} =
\frac{\partial }{\partial x} \left(\lambda_{11} \frac{\partial T}{\partial x}\right) +
Řádek 41:
* Levá strana rovnice <math>\rho c\frac{\partial T}{\partial t}</math> udává, jak rychle roste tepelná energie v jednotkovém množství materiálu (tj. na jednotku délky).
* Derivace teploty podle prostorové souřadnice <math>\frac{\partial T}{\partial x}</math> je jednorozměrný gradient a udává, jak prudce na jednotku délky roste teplota ve směru souřadné osy.
* Výraz <math>q = -\lambda \frac{ \partial T}{\partial x} </math> podle
* Výraz <math>\frac{\partial q}{\partial x}</math> udává nárůst toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce.
* Výraz <math>- \frac{\partial q}{\partial x}</math>udává pokles toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce. Rovnice vyjadřuje, že úbytek v toku tepla v daném místě se "použije" na zvýšení teploty materiálu v tomto místě.
== Poznámky ==
* Rovnice vedení tepla nepředpokládá pohyb prostředí. V případě vedení tepla v pohybujícím se mediu je možné doplnit rovnici dalším členem, který podchycuje efekt přenosu tepla vlivem pohybu prostředí.
Řádek 57 ⟶ 56:
* [[Difuzní rovnice]]
* [[Fourierův zákon]]
{{Autoritní data}}
{{Portály|Fyzika|Matematika}}
[[Kategorie:Parciální diferenciální rovnice]]
| |||