|
[[Soubor:Codomain2.SVG|vpravo|náhled|250px|Funkce <math> f</math> zobrazuje množinu <math> X</math> do množiny <math> Y</math>. VDefiniční tomtoobor případěznačen je <math> f</math> definována na celé množině <math> X</math>. V obecnějším případě se však může státčerveně, žeobor nehodnot pro všechny prvky z množiny <math> X</math> existuje jejich [[vzor množiny|vzor]] při zobrazení <math> f</math>žlutě.]]
'''Definiční obor funkce''' <math> f</math> je [[množina]] všech hodnot, pro které je [[funkce (matematika)|funkce]] <math> f</math> definována. Definiční obor můžeme definovat pro jakékoli [[zobrazení (matematika)|zobrazení]]. Nechť <math>\ T: X \to Y</math> je zobrazení z množiny <math> X</math> do množiny <math> Y</math>. Pak definiční obor zobrazení <math> T</math> tvoří právě ty prvky množiny <math> X</math>, pro něž je definován [[obraz množiny|obraz]]v při zobrazenímnožině <math> TY</math>. Obecně nemusí být zobrazení <math> T</math> definováno na celé množině <math> X</math>., Vv tom případě tvoří jeho definiční obor [[vlastní podmnožina|vlastní podmnožinu]] množiny <math> X</math>. Občas se kromě názvu ''definiční obor'' používá také označení '''doména'''. Definiční obor zobrazenífunkce <math> Tf</math> seje značí[[množina]] většinouvšech <math> D_T</math>hodnot, <math>pro D(T)</math>které čije <math>[[funkce \text{Dom}(Tmatematika)</math>. Posledně uvedený symbol pak vychází z anglického názvu pro definiční obor (''domain'') a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení|funkce]] <math> T: X \to Yf</math> zapsat jakodefinována.
== Definice ==
:<math> D_T = \{ x \in X| (\exists y \in Y)(T(x) = y)\}.</math> ▼V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení <math> T: X \to Y</math> zapsat následovně:
▲:<math> D_T = \{ x \in X| (\exists y \in Y)(T(x) = y)\} .</math> .
* Funkce <math>f(x) = 1/x</math> na množině [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math> \mathbb{R}</math> není definována pro <math> x = 0</math>. Její definiční obor je tedy množina <math> \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}</math>.
* Mezi další oblíbené příklady patří funkce složené z funkce [[tangens]], která je definována pro všechna reálná čísla kromě lichých násobků čísla <math> \pi/2</math>.
* Definiční obor ale nemusí tvořit jen čísla. Uvažujme například operátor [[derivace]], který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci. Neboli
:<math> \text{Der}: \mathcal{C} \to \mathcal{C},</math>
kde jsme jako <math> \mathcal{C}</math> označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí <math> f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>. V tomto případě tedy tvoří definiční obor operátoru derivace <math> \text{Der}</math> ty funkce z <math> \mathcal{C}</math>, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci. ▼
Definiční obor zobrazení <math>T</math> resp. funkce <math>f</math> se značí <math>D_T=D(T)</math> resp. <math>D_f=D(f)</math>. Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení '''doména''', pro obor hodnot pak označení '''kodoména'''.
== Názvosloví ==
Mějme zobrazení <math> T: X \to Y</math>. V závislosti na tom, zda je zobrazení <math> T</math> definováno pro všechny prvky <math> X</math> nebo ne, rozlišujeme následující pojmy:
== Omezení definičního oboru == ▼* Pokud je zobrazení <math> T</math> definováno pro všechny prvky, tak říkáme, že ''zobrazuje množinu <math> X</math> do množiny <math> Y</math>''.
Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou [[podmnožina|podmnožinu]] jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci <math> f: X \to Y</math> a platí-li <math> A \subseteq X</math>, můžeme omezit funkci <math> f</math> na množinu <math> A</math> , což značíme :▼* Pokud naopak existuje prvek <math> x</math> z množiny <math> X</math>, pro něž není zobrazení <math> T</math> definováno, pak říkáme, že zobrazení <math> T</math> ''zobrazuje z množiny <math> X</math> do množiny <math>\scriptstyle Y</math>''. Občas se pro tento případ užívá značení, kdy je vstupní množina, tj. <math> X</math>, uvedena v závorce. Neboli
:<math>f|_A T: (X)A \torightarrow Y.</math>.
Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny <math> A</math> stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny <math> X</math>. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny <math> A</math>. Pro funkci <math> f</math> se <math> f_A</math> nazývá '''zúžení (restrikce)''' <math> f</math> na množinu <math> A</math> '''. Místo slova ''zúžení'' lze použít i cizí slovo '''restrikce'''. ▼Obvykle se ale za množinu <math> X</math> bere právě definiční obor zobrazení <math> T</math> a výše uvedenou konvenci se závorkou není třeba užívat.
Uvažujme nyní [[topologický prostor]] <math> X</math> a na něm definované zobrazení <math> T</math>, které zobrazuje do nějaké množiny <math>\scriptstyle Y</math>. O zobrazení <math>\scriptstyle T</math> řekneme, že je '''hustě definované''', právě když je jeho definiční obor [[Hustá množina|hustou podmnožinou]] topologického prostoru <math> X</math>. Neboli ▼▲kde* jsmeDefiniční jakoobor mohou kromě čísel tvořit také např. funkce. Uvažujme množinu <math> \mathcal{C}</math> označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí <math> f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> . Va tomtooperátor případě[[derivace]] tedy<math>\text{Der}: tvoří\mathcal{C} \to \mathcal{C}</math>, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci, pak definiční obor operátoru derivace <math> \text{Der}</math> tvoří ty funkce z <math> \mathcal{C}</math>, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.
▲* Uvažujme nyní [[topologický prostor]] <math> X</math> a na něm definované zobrazení <math> T</math> , které zobrazujezobrazující do nějaké množiny <math> \scriptstyle Y</math>. O zobrazení <math> \scriptstyle T</math> řekneme, že je '''hustě definované''', právě když je jeho definiční obor [[Hustá množina|hustou podmnožinou]] topologického prostoru <math> X</math> , tj. Neboli<math>\overline{(D_T)} = X</math>, kde pruh nad množinou značí [[Uzávěr množiny|uzávěr]] této množiny.
:<math> \overline{(D_T)} = X,</math>
kde pruh nad množinou značí [[Uzávěr množiny|uzávěr]] této množiny.
▲== Omezení definičního oboru ==
▲Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou [[podmnožina|podmnožinu]] jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci <math> f: X \to Y</math> a platí-li <math> A \subseteq X</math>, můžeme omezit funkci <math> f</math> na množinu <math> A</math> , což značíme
:<math>f|_A : A \rightarrow Y.</math>
▲Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny <math> A</math> stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny <math> X</math>. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny <math> A</math>. Pro funkci <math> f</math> se <math> f_A</math> nazývá '''zúžení <math> f</math> na množinu <math> A</math>'''. Místo slova ''zúžení'' lze použít i cizí slovo '''restrikce'''.
== Odkazy ==
=== Související články ===
* [[Obor hodnot]]
* [[Zobrazení (matematika)]]
=== Literatura ===
| 