Verze z 7. 10. 2022, 21:21 editovat Miloš Křivan (diskuse \| příspěvky) 3 183 editací m úprava ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 7. 10. 2022, 21:54 editovat zrušit editaci Miloš Křivan (diskuse \| příspěvky) 3 183 editací m úprava Přejít na další porovnání →
Řádek 1: [[File:Function_color_example_3.svg\|thumb\|Zobrazení, které přiřazuje vybarveným geometrickým tvarům barvu jejich výplně.]] '''Zobrazení''' je v [[Matematika\|matematice]] speciálním případem [[binární relace]], u které má každý vzor nejvýše jeden obraz. Je to předpis, ~~kterým~~<math>f</math>, sekterý prvkům [[Množina\|množiny]] <math>X</math> přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny <math>Y</math>. Přesněji mluvíme o zobrazení '''z''' množiny <math>X</math> '''do''' množiny <math>Y</math>. Pokud <math>X=Y</math>, mluvíme o ''zobrazení na množině''. Ve speciálním případě, když je <math>Y</math> libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme [[Funkce (matematika)\|funkcí]]. Je-li prvku <math>x</math> množiny <math>X</math> přiřazen prvek <math>y</math> množiny <math>Y</math>, pak říkáme, že prvek <math>x</math> je '''vzorem''' a prvek <math>y=f(x)</math> je '''obrazem'''.▼ ▲'''Zobrazení''' je v [[Matematika\|matematice]] speciálním případem [[binární relace]], u které má každý vzor nejvýše jeden obraz. Je to předpis, kterým se prvkům [[Množina\|množiny]] <math>X</math> přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny <math>Y</math>. Přesněji mluvíme o zobrazení ''z'' množiny <math>X</math> ''do'' množiny <math>Y</math>. Pokud <math>X=Y</math>, mluvíme o ''zobrazení na množině''. Ve speciálním případě, když je <math>Y</math> libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme [[Funkce (matematika)\|funkcí]]. Je-li prvku <math>x</math> množiny <math>X</math> přiřazen prvek <math>y</math> množiny <math>Y</math>, pak říkáme, že <math>x</math> je vzorem a <math>y</math> je obrazem. == Definice == Zobrazení <math>f \,colon X \!to Y</math> z množiny <math>~~\mathcal{A}~~X</math> do množiny <math>~~\mathcal{B}~~Y</math> je ~~taková~~ [[binární relace]], ~~pro kterou platí, že~~která ke každému prvku <math>x ~~\,\!~~</math> množiny <math>~~\mathcal{A}~~X</math> přiřazuje ~~nejvýše~~právě jeden ~~takový~~ prvek <math>y ~~\,\!~~</math> množiny <math>~~\mathcal{B}~~Y</math> tak, že <math> [ x,y ] \in f</math>. * Množina ~~právě těch~~ prvků <math>x \in ~~\mathcal{A}~~X</math>, pro které existuje prvek <math>y \in ~~\mathcal{B}~~Y</math> tak, že <math>y=f(x) ~~\,\!~~</math>, se nazývá '''definičním oborem ~~zobrazení~~''' <math>D(f ~~\,\!~~)=D_f</math> ~~(též zkráceně oborem~~ zobrazení ~~či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek~~ <math>D(f~~)=\mathcal{D}_f=\mathrm{dom}\ f =\mathrm{dom}(f)\,\!~~</math>.▼ ~~=== Značení ===~~ * Množina prvků <math>y \in Y</math>, pro které existuje alespoň jeden prvek <math>x \in X</math> tak, že <math>f(x)=y</math>, se nazývá '''oborem hodnot''' <math> V(f) = V_f</math> zobrazení <math>f</math>. ~~<math>y=f(x) \,\!</math> nebo <math>f:x \mapsto y\,\!</math>~~ ~~=== Důležité pojmy ===~~ * Prvek <math>y=f(x) \in \mathcal{B}</math> se nazývá '''obrazem''' prvku <math>x \,\!</math> v zobrazení <math>f \,\!</math> nebo také '''hodnotou zobrazení''' <math>f \,\!</math> v bodě <math>x \,\!</math>. Podobně obraz množiny <math>\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}</math> v zobrazení <math>f</math> je množina <math>\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{B}</math>, na kterou se zobrazí <math>\mathcal{X}</math>: <math>\mathcal{Y} = f(\mathcal{X})</math> * Prvek <math>x \in \mathcal{A}</math> se nazývá '''vzorem''' prvku <math>y=f(x) \,\!</math> v zobrazení <math>f \,\!</math>. Podobně vzor množiny <math>\mathcal{Y}</math> v zobrazení <math>f</math> je množina <math>\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}</math> obsahující všechny prvky, které se do množiny <math>\mathcal{Y}</math> zobrazí; značí se <math>\mathcal{X} = f^{-1}(\mathcal{Y})</math> ▲* Množina právě těch prvků <math>x \in \mathcal{A}</math>, pro které existuje prvek <math>y \in \mathcal{B}</math>, že <math>y=f(x) \,\!</math>, se nazývá '''definičním oborem zobrazení''' <math>f \,\!</math> (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek <math>D(f)=\mathcal{D}_f=\mathrm{dom}\ f =\mathrm{dom}(f)\,\!</math>. * Množina právě těch prvků <math>y \in \mathcal{B}</math>, pro které existuje aspoň jeden takový prvek <math>x \in \mathcal{A}</math>, že <math>f(x)=y \,\!</math>, se nazývá '''oborem hodnot zobrazení''' <math>f \,\!</math> (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek <math> H(f) = \mathcal{H}_f = \mathcal{R}_f = \mathrm{rng}\ f = \mathrm{rng} (f) = f(D(f)) = f(\mathcal{D}_f)</math>. V [[teorie množin\|teorii množin]] se tedy zobrazení definuje jako [[binární relace\|binární]] [[Relace (matematika)\|relace]] <math>f \,\!</math> splňující podmínku existence a jednoznačnosti: Řádek 21 ⟶ 13: == Typy zobrazení == [[Soubor:Typy zobrazení.png\|náhled\|Typy zobrazení]] V matematice jsou '''injekce''', '''surjekce''' a '''bijekce''' třídy zobrazení, které se liší způsobem, jakým jsou vzory a obrazy vzájemně mapovány.: ~~Mějme zobrazení <math>f \colon X \to Y</math>, pak:~~ Zobrazení je injektivní (zobrazení '''do'''), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován nejvýše jedním prvkem definičního oboru, nebo ekvivalentně, pokud jsou různé prvky definičního oboru mapovány na různé prvky oboru hodnot: ::<math>\forall x, x' \in X</math> platí <math>f(x) = f(x') \Rightarrow x = x' \ \ \ \ \ </math> nebo <math> \ \ \ \ \ \forall x,x' \in X</math> platí <math>x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x')</math>. Zobrazení je surjektivní (zobrazení '''na'''), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován alespoň jedním prvkem definičního oboru: ::<math>\forall y \in Y, \exists x \in X</math> tak, že <math>y = f(x)</math>.

Zobrazení (matematika): Porovnání verzí