Komplexní číslo: Porovnání verzí

Komplexní čísla lze interpretovat geometricky. Zde je příklad v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských pravoúhlých souřadnicích]]. Jako se reálná čísla zobrazují na reálné ose '''''Re''''', budou imaginární čísla zobrazena na kolmé imaginární ose '''''Im''''' a každé komplexní číslo se zobrazí jako bod v rovině se souřadnicemi [''x'', ''y'']. Číslo tvaru [''x'', 0] je reálné, číslo tvaru [0, ''y''] je ryze imaginární. Absolutní hodnota komplexního čísla je pak vzdálenost bodu [''x'', ''y''] od počátku souřadnic a číslo komplexně sdružené (tj. číslo [''x'', −''y'']) je zrcadlovým obrazem bodu [''x'', ''y''] podle reálné osy x, tedy '''''Re'''''.

 

 

__OBSAH__

'''Komplexním číslem''' nazveme číslo tvaru <math> a + b\mathrm{i} \,\! </math>, kde <math> a \,\! </math> a <math> b \,\! </math> jsou [[Reálné číslo|reálná čísla]]. Tento tvar komplexního čísla se nazývá '''algebraický'''. Písmeno <math> \mathrm{i} \,\! </math> značí '''imaginární jednotku''', která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici <math>\mathrm{i}^2+1=0\,,</math> tj. jako [[odmocnina]] z −1, která v reálných číslech neexistuje.

 

Reálné číslo <math> a \,\! </math> se nazývá '''reálnou částí''' tohoto komplexního čísla a reálné číslo <math> b \,\! </math> jeho '''imaginární částí'''. Pokud je <math> b = 0 \,\! </math>, je dotyčné číslo reálným číslem <math> a \,\! </math>, tj. reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních. Pokud je <math> a = 0 \,\! </math>, mluvíme o '''(ryze) imaginárním číslu'''. Někteří autoři totiž pojmem [[imaginární číslo]] rozumí jakékoli komplexní číslo.

 

 

Na pořadí zápisu imaginární části zpravidla nezáleží (<math>b\mathrm{i} = \mathrm{i}b\,\! </math>), ale například v tabulkových procesorech se znak „i“ nebo „j“ dává vždy za číslo, aby nedocházelo k záměnám s adresami buněk ve sloupci I nebo J nebo za elektrický proud.

V oboru reálných čísel existují [[polynom]]y (s reálnými [[koeficient]]y a nezápornými celočíselnými [[Exponent (matematika)|exponenty]]), které nemají v oboru reálných čísel žádný [[kořen (matematika)|kořen]], případně je počet jejich reálných kořenů nižší než stupeň polynomu.

 

 

V dnešní době je [[komplexní analýza]] důležitým matematickým prostředkem s četnými aplikacemi v různých jiných odvětvích matematiky, včetně například [[teorie čísel]], vedoucí k výsledkům, které jsou bez použití komplexních čísel zcela nedostupné, nebo obtížněji dostupné.