Monotónní funkce: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Doplnění wikiodkazů a kotev |
Bez shrnutí editace značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 1:
[[Soubor:Graph logarithm b=2.png|náhled|Příklad ryze monotónní (rostoucí) funkce]]
'''
== Definice (monotonie na množině) ==
Tato vlastnost bývá nazývána '''monotonnost''', popř. '''monotonicita'''.▼
{{Kotva|Rostoucí funkce}}Funkce <math>f</math> definovaná na množině <math>M</math> je na této množině '''rostoucí''' (též '''ostře
'''Funkce''' je '''ryze monotónní''' v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru rostoucí nebo klesající.▼
:<math>x < y \Rightarrow f(x) < f(y).</math>▼
{{Kotva|Klesající funkce}}Funkce <math>f</math> definovaná na množině <math>M</math> je na této množině '''klesající''' (též '''ostře
[[Konstantní funkce]] je podle této definice monotónní, ale není ryze monotónní.▼
:<math>x < y \Rightarrow f(x) > f(y).</math>▼
== Definice ==▼
▲{{Kotva|Rostoucí funkce}}Funkce <math>f</math> definovaná na množině <math>M</math> je na této množině '''(ostře, ryze) rostoucí''' právě tehdy, když pro každé dva body <math>x, y \in M</math> platí
▲:<math>x < y \Rightarrow f(x) < f(y)</math>
▲{{Kotva|Klesající funkce}}Funkce <math>f</math> definovaná na množině <math>M</math> je na této množině '''(ostře, ryze) klesající''' právě tehdy, když pro každé dva body <math>x, y \in M</math> platí
▲:<math>x < y \Rightarrow f(x) > f(y)</math>
{{Kotva|Neklesající funkce}}Funkce <math>f</math> definovaná na množině <math>M</math> je na této množině '''neklesající''' právě tehdy, když pro každé dva body <math>x, y \in M</math> platí
:<math>x < y \Rightarrow f(x) \le f(y).</math>
{{Kotva|Nerostoucí funkce}}Funkce <math>f</math> definovaná na množině <math>M</math> je na této množině '''nerostoucí''' právě tehdy, když pro každé dva body <math>x, y \in M</math> platí
:<math>x < y \Rightarrow f(x) \ge f(y).</math>
'''Funkce''' je '''monotónní''' na určitém [[Interval (matematika)|intervalu]], [[Množina|množině]] nebo v celém svém [[Definiční obor|definičním oboru]], pokud je na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru neklesající nebo nerostoucí.
▲
Je zřejmé, že je-li funkce rostoucí, je neklesající a je-li funkce klesající, je nerostoucí.▼
▲'''Funkce''' je '''ryze monotónní''' v
{{Kotva|Interval monotonie}}[[Interval (matematika)|Interval]], na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá ''interval monotonie''.▼
Výše uvedené definice popisují '''globální monotonii'''.
== Příklad ==
[[Soubor:PrubehFunkce.svg|thumb|Graf funkce, která na intervalu <math>\langle A, B\rangle</math> není monotónní, ale je monotónní na jeho určitých podintervalech; na intervalu <math>\langle A, x_2\rangle</math> a <math>\langle x_3, x_5\rangle</math> je rostoucí, na intervalu <math>\langle x_2, x_3 \rangle</math> a <math>\langle x_5, B \rangle</math> je klesající.]]
Na obrázku vpravo je funkce rostoucí například v intervalu <math>\langle x_3, x_5\rangle</math>, klesající například v intervalu <math>\langle x_2, x_3 \rangle</math>.
▲== Definice (monotonie v bodě) ==
▲{{Kotva|Interval monotonie}}[[Interval (matematika)|Interval]], na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá ''interval monotonie''.
{{Kotva|Lokální monotonie}}'''Monotonie lokální''' (v bodě):
Funkce je po řadě ''rostoucí'', ''klesající'', ''neklesající'' resp. ''nerostoucí'' v bodě <math>a</math>, jestliže existuje nějaké [[Okolí (matematika)|okolí]] <math>U(a)</math> bodu <math>a</math>, na kterém je funkce ''rostoucí'', ''klesající'', ''neklesající'' resp. ''nerostoucí''. To je ekvivalentní s tím, že v tomto okolí platí<br />
* v případě funkce ''rostoucí v bodě'' dvojice implikací
:<math>x > a \Rightarrow f(x) > f(a) \quad\land\quad x < a \Rightarrow f(x) < f(a)</math>
* v případě funkce ''klesající v bodě'' dvojice implikací
:<math>x > a \Rightarrow f(x) < f(a) \quad\land\quad x < a \Rightarrow f(x) > f(a)</math>,
* v případě funkce ne''rostoucí v bodě'' dvojice implikací
:<math>x > a \Rightarrow f(x) \le f(a) \quad\land\quad x < a \Rightarrow f(x) \ge f(a)</math>,
* a v případě funkce ''neklesající v bodě''
:<math>x > a \Rightarrow f(x) \ge f(a) \quad\land\quad x < a \Rightarrow f(x) \le f(a)</math>.
== Poznámky ==
▲* Je zřejmé, že je-li funkce rostoucí, pak je i neklesající.
== Derivace monotónní funkce ==
Řádek 48 ⟶ 54:
* Jestliže <math>f(x)</math> je v bodě <math>a</math> ''neklesající'', pak <math>f^\prime(a) \geq 0</math>.
* Jestliže <math>f(x)</math> je v bodě <math>a</math> ''nerostoucí'', pak <math>f^\prime(a) \leq 0</math>.
== Řešení nerovnic s monotonními funkcemi ==
Monotonie funkce umožňuje jednotný přístup k práci s nerovnostmi a nerovnicemi.
Přímo z definice plyne, že je-li funkce <math>f</math> ''rostoucí'', potom jsou nerovnosti <math>x<a</math> a <math>f(x)<f(a)</math> ekvivalentní. Toho je možné využít například při řešení nerovnic. Přirozený logaritmus je rostoucí funkce na svém definičním oboru a proto jsou zde ekvivalentní nerovnosti <math>\ln(x)< \ln(5)</math> a <math>x< 5.</math> Nerovnice <math display="block">\ln(x)< \ln (5)</math> má tedy řešení <math display="block">0< x< 5.</math>(Dolní omezení plyne z definičního oboru přirozeného logaritmu.) Analogické pravidlo platí i pro neostré a opačné nerovnosti.
Je-li funkce ''klesající'', znaménko nerovnosti se otáčí.
Speciálním případem tohoto principu jsou následující pravidla pro práci s nerovnostmi a nerovnicemi.
* K oběma stranám nerovnice můžeme přičíst stejné číslo (funkce <math>f(x)=x+a</math> je rostoucí pro libovolné <math>a</math>).
* Obě strany nerovnice můžeme vynásobit stejným kladným číslem (funkce <math>f(x)=ax</math> je rostoucí pro libovolné kladné <math>a</math>).
* Obě strany nerovnice můžeme vynásobit stejným záporným číslem a otočit směr nerovnosti (funkce <math>f(x)=ax</math> je klesající pro libovolné záporné <math>a</math>).
* Obě strany nerovnice můžeme logaritmovat nebo odlogaritmovat logaritmem o základu větším než jedna.
* Obě strany nerovnice můžeme logaritmovat nebo odlogaritmovat logaritmem o základu menším než jedna a otočit směr nerovnosti.
* Obě strany nerovnice můžeme odmocnit. Pozor, odmocněním nerovnosti <math>x^2<25</math> dostáváme nerovnost s absolutní hodnotou <math>|x|<5</math> a oborem pravdivosti <math>-5<x<5</math>.
[[Kvadratická funkce]] ani [[převrácená hodnota]] nejsou ani rostoucí ani klesající funkce. Proto není možno podobnými způsoby řešit kvadratické nerovnice a nerovnice se zlomky. Kvadratická funkce je však rostoucí na množině kladných čísel, proto je možné například tvrdit, že mezi čtverci má největší obsah ten, který má nejdelší stranu. V tomto případě se totiž přirozeně pracuje s kvadratickou funkcí jenom pro kladné hodnoty (délka strany není záporná) a tam je kvadratická funkce udávající vztah mezi délkou strany a obsahem rostoucí.
== Terminologie ==
| |||