Wikipedie

Lieova algebra: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
mBez shrnutí editace
Doplnění definice
Řádek 1:
'''Lieova algebra''' je [[matematikaAlgebraická struktura|matematická]]algebraická struktura]], která úzce souvisí s [[Lieova grupa|Lieovými grupami]] a jejich [[reprezentace (grupa)|reprezentacemi]].
 
== Definice ==
Lieova algebra je algebra, tj. [[vektorový prostor]] <math>V</math> nad [[Těleso (algebra)|tělesem]] <math>F</math> spolu s [[Bilineární zobrazení|bilineárním zobrazením]] (Lieova závorka) ve tvaru
 
:<math>[\,\cdot\,,\,\cdot\,]: V\times V\to V</math>,
 
které pro všechna <math> \forall x,y,z\in V</math> splňuje vlastnosti:
 
* ''Alternativita'',
* <math>[x,x]=0</math>, (''alternativita'')▼
*:: <math>[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0</math>. (''Jacobiho identita'')
* ''Jacobiho identita'',
: : <math>[[x+y,x+y]=[x,xz]+[x,y]+[y,z],x]+[y[z,x]=[x,y]+[y,x]=0</math>.▼
 
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje [[Antikomutativita|antikomutativitu]], a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné [[Charakteristika (matematika)|charakteristiky]] než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
Z definice je zřejmé, že tato operace musí být [[Antikomutativita|antikomutativní]], neboť jistě lze psát
 
:Uvažujme libovolné dva prvky <math> x,y\in V</math>. S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
▲: <math>[x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,x]=[x,y]+[y,x]=0</math>.
:: <math>[x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,x]=[x,y]+[y,x]=0</math>,
 
:z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
Skutečnost, že je Lieova závorka alternující lze ukázat opačným způsobem z antikomutativity v případě, že uvažujeme Lieovu algebru nad tělesem jiné charakteristiky než dva, a to z toho důvodu, že antikomutativita implikuje <math>[x,x]=-[x,x]</math>.
▲*:: <math>[x,x]=0-[x,x]</math>, (''alternativita'')
:z čehož plyne <math>2[x,x]=0</math>, a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.
 
== Příklady ==
Řádek 26 ⟶ 30:
* funkce na [[fázový prostor|fázovém prostoru]] spolu s [[Poissonova závorka|Poissonovou závorkou]]
* [[Vektorové pole|vektorová pole]] na [[varieta (matematika)|varietě]] s komutátorem vektorových polí
* [[Tečný prostor]] <math>\mathfrak{g}</math> [[Lieova grupa|Lieovy grupy]] G v jednotkovém prvku spolu se závorkou <math>[x,y]:=\mathrm{ad}(x)y</math>, kde <math>\mathrm{ad(x)}\in \mathrm{End}(\mathfrak{g})</math> je derivace zobrazení <math>Ad_\mathrm{Ad}_{\mathrm{exp}(tx)}\in \mathrm{Gl}(\mathfrak{g})</math> v <math>t=0</math>. Této Lieovy algebře <math>\mathfrak{g}</math> se říká '''Lieova algebra Lieovy grupy G'''. V případě maticových grup je <math>\mathfrak{g}</math> pouze tečný prostor G a <math>[x,y]</math> obyčejný komutátor matic.
 
== Související články ==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Lieova_algebra“