Základní věta algebry: Porovnání verzí

Dále dokazujme [[důkaz sporem|sporem]]. Nechť nějaký polynom ''P(x)'' s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce ''g(x)'' daná předpisem <math>g(x)=\frac{1}{P(x)}</math> je definována na celém <math>\mathbb{C}</math>. Dále jistě v [[komplexní rovina|komplexní rovině]] existuje [[Kruh (geometrie)|kruh]] ''K'' se středem v nule takový, že <math>|P(x)|\geq 1</math> pro ''x'' ležící mimo ''K''. Protože ''|P(x)|'' je [[spojitá funkce]] nenulová na ''K'' a ''K'' je [[kompaktní množina|kompaktní]], existuje <math>\,\varepsilon>0</math>, že <math>\,|P(x)|>\varepsilon</math> pro ''x'' z ''K''. Potom <math>|g(x)|<max(1,\frac{1}{\varepsilon})</math> pro každé <math>x\in\mathbb{C}</math>. Tedy ''g(x)'' je omezená na <math>\mathbb{C}</math> a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je ''g(x)'' konstantní a tedy i ''P(x)'' je konstantní, což je spor.