Iracionální číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m odkazy za použití AWB |
→Mohutnost množiny iracionálních čísel: - náznak důkazu značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 23:
== Mohutnost množiny iracionálních čísel ==
Protože každé racionální číslo je možné vyjádřit podílem dvou celých čísel, množina racionálních čísel je [[spočetná množina|nekonečná spočetná]]. Ale reálných čísel je [[Cantorova diagonální metoda#Důkaz|nespočetně]], tedy více než racionálních, takže iracionálních čísel musí být také nespočetně, množina iracionálních čísel má stejnou [[mohutnost]] jako množina čísel reálných, tzn. [[mohutnost kontinua]].
Důkaz tohoto tvrzení lze poměrně jednoduše nahlédnout takto: postupujme sporem,
# Pokud by množina iracionálních čísel byla spočetná, pak by existovalo jednoznačné zobrazení mezi přirozenými čísly a čísly iracionálními čísly. Pak by však také existovalo jednoznačné zobrazení mezi lichými přirozenými čísly a čísly iracionálními.
# Ze spočetnosti racionálních čísel obdobně plyne existence jednoznačného zobrazení mezi sudými přirozenými čísly a racionálními čísly.
Z 1. a 2. by pak plynulo, že sjednocení racionálních a iracionálních čísel, což jsou čísla reálná, má stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel, která je spočetná. Tím jsme se dostali ke sporu a předpoklad 1. nemůže platit. Proto množina iracionálních čísel má mohutnost větší než spočetnou a zároveň však nemůže mohutnost větší než její nadmnožina - čísla reálná, která má mohutnost kontinua.
== Externí odkazy ==
| |||