Verze z 9. 8. 2021, 18:36 editovat JAnDbot (diskuse \| příspěvky) Roboti 1 711 601 editací m {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy ← Přejít na předchozí porovnání		Aktuální verze z 9. 9. 2021, 08:18 editovat zrušit editaci Kolarp (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 6 986 editací m Oprava pomlček a slovosledu
Řádek 6: # <math> A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\! </math> # <math> (A \isin F \land A \subseteq B) \implies B \isin F \,\! </math> # <math> ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X - A \isin F) \,\! </math> == Vysvětlení definice == Podle bodu 2 je '''ultrafiltr''' [[dolů usměrněná množina]], podle bodu 3 je to [[horní množina]] -– jedná se tedy o [[Filtr (matematika)\|filtr]] v [[Potenční algebra\|potenční algebře]].<br /> Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] -– '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br /> Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cap (X - A) = \emptyset \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br /> Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální a minimální prvek\|maximální]] -– jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr. Zjednodušeně řečeno, ~~„seká“~~ ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina -– její doplněk vybírá ~~přesně~~právě jednu možnost. == Příklady a vlastnosti == Řádek 22: Za [[hlavní filtr]] považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny <math> A \subseteq X \,\! </math>, hlavní filtr určený množinou <math> A \,\! </math> tedy lze zapsat jako<br /> <math> F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\! </math><br /> Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry -– jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou <math> A = \{a \} \,\! </math>, kde <math> a \isin X \,\! </math>. Tyto ultrafiltry jsou nazývány '''triviální ultrafiltry'''. Na [[konečná množina\|konečné množině]] je každý ultrafiltr triviální -– celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br /> Na [[Nekonečná množina\|nekonečné množině]] odpovídá počet triviálních ultrafiltrů [[mohutnost]]i množiny <math> X \,\! </math>. Řádek 37: Vezmeme-li v úvahu například [[Fréchetův filtr]] a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální. Důkaz této věty podstatným způsobem používá [[princip maximality]] -– větu nelze dokázat, bez přijetí [[Axiom výběru\|axiomu výběru]] nebo nějaké jeho obdoby. === Dualita s prvoideálem === Stejně jako u většiny pojmů z [[teorie uspořádání]], má i ultrafiltr svůj duální pojem -– [[prvoideál (teorie uspořádání)\|prvoideál]]. Ke každému ultrafiltru <math> F \,\! </math> existuje '''duální prvoideál''' -– množina všech doplňků z <math> F \,\! </math>: <br /> <math> F^* = \{ X - A : A \isin F \} \,\! </math> Vztah platí i opačně -– množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr -– '''duální ultrafiltr'''. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí<br /> <math> (F^)^ = F \,\! </math>

Ultrafiltr: Porovnání verzí