Ultrafiltr: Porovnání verzí

# <math> ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X - A \isin F) \,\! </math>

Podle bodu 2 je '''ultrafiltr''' [[dolů usměrněná množina]], podle bodu 3 je to [[horní množina]] -– jedná se tedy o [[Filtr (matematika)|filtr]] v [[Potenční algebra|potenční algebře]].<br />

Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] -– '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br />

Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cap (X - A) = \emptyset \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br />

Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální a minimální prvek|maximální]] -– jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, „seká“ ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina -– její doplněk vybírá přesněprávě jednu možnost.

Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry -– jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou <math> A = \{a \} \,\! </math>, kde <math> a \isin X \,\! </math>. Tyto ultrafiltry jsou nazývány '''triviální ultrafiltry'''.

Na [[konečná množina|konečné množině]] je každý ultrafiltr triviální -– celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br />

Důkaz této věty podstatným způsobem používá [[princip maximality]] -– větu nelze dokázat, bez přijetí [[Axiom výběru|axiomu výběru]] nebo nějaké jeho obdoby.

Stejně jako u většiny pojmů z [[teorie uspořádání]], má i ultrafiltr svůj duální pojem -– [[prvoideál (teorie uspořádání)|prvoideál]]. Ke každému ultrafiltru <math> F \,\! </math> existuje '''duální prvoideál''' -– množina všech doplňků z <math> F \,\! </math>: <br />

<math> F^* = \{ X - A : A \isin F \} \,\! </math>

Vztah platí i opačně -– množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr -– '''duální ultrafiltr'''. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí<br />