Narodil se v Krnsku u [[Mladá Boleslav|Mladé Boleslavi]] do rodiny c. k. poštmistra Josefa Kotka (1829-19061829–1906) a jeho ženy Marie<ref>zápis v matrice N a na náhrobku je uvedeno, že jde patrně o Annu Kotkovou</ref> (1835-19241835–1924). Vystudoval stavitelství, přibližně od roku 1890 pak působil a podnikal v Plzni. Za svou kariéru zde vybudoval celou řadu rozsáhlých a reprezentativních staveb.[[Soubor:Dum na Klatovske tride 20 v Plzni.jpg|vlevo|thumb|Dům na Klatovské tř. 20 v Plzni podle projektu F. Kotka]]Zemřel roku 1925 a byl pochován v rodinné hrobce spolu se svými rodiči a bratrem Ladislavem na hřbitově u [[Kostel svatého Jiří (Krnsko)|kostela svatého Jiří]] v Krnsku. Hrobku zdobí kovová plastika s podobiznou Josefa Kotka.
[[Soubor:Areál kostela svatého Jiří, Krnsko, okr. Mladá Boleslav, Středočeský kraj 08.jpg|vpravo|náhled|Hrobka rodiny Kotkovy na hřbitově u [[Kostel svatého Jiří (Krnsko)|kostela svatého Jiří]] v Krnsku]]
