Eukleidovská konstrukce: Porovnání verzí

Bodům (''x'',''y'') v tomto [[Eukleidovský prostor|Eukleidovském prostoru]] lze přiřadit [[komplexní číslo|komplexní čísla]] ''x'' + ''y'' ''[[Imaginární jednotka|i]]''. Bod (''x'',''y'') je '''konstruovatelný''', pokud ho lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit pouze z počátečních bodů ''A'' a ''B''.

Lze ukázat, že takto lze zkonstruovat všechny body ''x'' + ''y'' ''i'' pro [[racionální číslo|racionální]] ''x'' a ''y''. Zároveň lze pro každá konstruovatelná ''a'' a ''b'' zkonstruovat ''a'' + ''b'', ''a'' – ''b'', ''a'' × ''b'' a ''a'' / ''b''. Konstruovatelná čísla tedy tvoří [[těleso (algebra)|těleso]], které je podtělesem komplexních čísel. Navíc platí, že pro každé konstruovatelné ''a'' lze zkonstruovat i <math>\sqrt{a}</math>. Na druhou stranou není ale konstruovatelné žádné [[transcendentní číslo]].

 

== Konstruovatelné úhly ==

 

Některé pravidelné [[mnohoúhelník]]y lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit jednoduše, jiné ne. To vedlo k otázce, zda lze takto vytvořit všechny mnohoúhelníky. Carl Friedrich Gauss v roce [[1796]] ukázal, že pravidelný ''n''-úhelník lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit, pokud liché dělitele ''n'' jsou různá [[Fermatovo prvočíslo|Fermatova prvočísla]]. Gauss se správně domníval, že tato podmínka je nejen nutná, ale i postačující, ale dokázat se to podařilo až [[Pierre Wantzel|Pierru Wantzelovi]] v roce [[1837]].

 

Konstrukce pěti a desetiúhelníku: