Diskriminant: Porovnání verzí

Přidáno 17 bajtů ,  před 1 rokem
m
{{Autoritní data}}; kosmetické úpravy
Bez shrnutí editace
m ({{Autoritní data}}; kosmetické úpravy)
'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[Komplexní číslo|komplexními]] koeficienty, který se používá při řešení [[Algebraická rovnice|algebraických]] [[polynomická rovnice|rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností polynomických funkcí.
 
== Diskriminant kvadratických rovnic ==
=== Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně ===
{{Viz též|Viètovy vzorce}}
Pro kořeny <math>x_1, x_2</math> polynomu druhého stupně platí:
 
<math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),</math>
 
<math>x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}</math> ; <math>x_1x_2 =\frac{c}{a}</math>.
 
Vyjádření: <math>b = - (x_1 + x_2)a; </math> <math display="inline">c = x_1x_2a</math>;
 
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: <math> D = b^2 - 4ac = (x_1 + x_2)^2 a^2 - 4a^2x_1x_2 =a^2(x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) = a^2(x_1 - x_2)^2.</math>
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny <math>x_1,x_2</math> je dán vztahem: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2.</math>
 
* Dva různé reálné kořeny <math>x_1,x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 > 0</math>
* Jeden dvojnásobný reálný kořen <math>x_1 = x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 = 0</math>
* Dva komplexně sdružené imaginární kořeny <math>x_1 = m + ni, x_2 = m - ni</math> pro: <math>D = a^2(m + ni - m + ni)^2 = -4a^2n^2 < 0.</math>
* Tři různé reálné kořeny <math>x_1,x_2, x_3</math> pro: <math display="inline">D > 0</math>
 
* Alespoň dva stejné kořeny <math>x_1 = x_2</math> ze tří reálných pro: <math display="inline">D = 0</math>
* Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro <math>D< 0</math>.
 
Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz [[Vandermondova matice|Vandermondův determinant]]):
: <math>D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2</math>
 
== Reference ==
{{Překlad|jazyk= de |článek= Diskriminante |revize = 207256409 }}
* [[Kvadratická rovnice]]
* [[Kubická rovnice]]
* [[Vandermondova matice]]
 
== Externí odkazy ==
* {{MathWorld|id=Discriminant}}
* Řešené [https://reseneulohy.cz/1607/cardanovy-vzorce příklady]
* [http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1589-cardanovy-vzorce Kubická rovnice]
{{Autoritní data}}
 
{{Portály|Matematika}}
1 429 381

editací