Diferenciální forma: Porovnání verzí

Méně formálně, diferenciální <math>k</math>-forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety.

 

:<math>a_1(x) dx_1+\ldots +a_n(x) dx_n</math>.

 

== Příklad ==

Nejznámější příklad je '''diferenciál funkce''' <math>f</math>, který se v lokálních souřadnicích dá vyjádřit jako

:<math>df=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i</math>. Toto vyjádření nezávisí na volbě souřadnic <math>\{x_i\}</math> a pro vektorové pole <math>X</math> je <math>df(X)=X(f)</math> (derivace funkce <math>f</math> vektorovým polem <math>X</math>).

 

<math>M</math> je hladká varieta. Zobrazení <math>\alpha: M \to \bigwedge^iT^*M </math> nazveme vnější diferenciální <math>k</math>-formou, pokud <math>\alpha</math> je hladké zobrazení a <math>\alpha(m) \in \bigwedge^k T^*_mM </math>, kde <math>\bigwedge^k T^*_mM </math> je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru

<math>T^*_mM</math>. Často označujeme <math>\alpha(m)</math> symbolem <math>\alpha_m</math>.

Prostor vnějších diferenciálních <math>k</math>-forem označujeme symbolem <math>\Omega^{k}(M)</math>.

 

<math>\alpha_{|U} = \sum_{I}\alpha_I dx^I,</math>

kde <math>I \subseteq \{1, \ldots, n\}</math> je multindex délky <math>|I|=k, \alpha_I \in \mathcal{C}^{\infty}(M)</math> a <math>dx^I = dx^{i_1}\wedge \ldots \wedge dx^{i_k},</math> <math>i_j = 1, \ldots, n</math>.

 

{{Pahýl}}

{{Portály|Matematika}}