Wikipedie

Lebesgueova míra: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m →‎Konstrukce Lebesgueovy míry: typografie za použití AWB
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
Roboti
1 711 601 editací
m Prohození šablon; kosmetické úpravy
Řádek 6:
 
== Definice ==
 
Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) [[Interval (matematika)|intervalu]] <math>I = \langle a,b\rangle</math> označíme <math>\ell(I)=b - a</math>, pak pro libovolnou podmnožinu <math>E\subseteq\mathbb{R}</math> definujeme její Lebesgueovu [[#Vnější míra|vnější míru]]<ref name="Royden" /> <math>\lambda^*(E)</math> jako
 
Řádek 20 ⟶ 19:
 
== Intuice ==
 
První část definice říká, že podmnožina <math>E</math> reálných čísel je omezena na svou vnější míru pokrytím množinami otevřených intervalů. Každá z těchto množin intervalů <math>I</math> pokrývá <math>E</math> v tom smyslu, že sjednocení intervalů obsahuje <math>E</math>. Celková velikost libovolné množiny intervalů pokrytí může být klidně větší než míra <math>E</math>, protože <math>E</math> je podmnožinou sjednocení intervalů, a intervaly tedy mohou obsahovat i body, které v <math>E</math> nejsou. Lebesgueova vnější míra je [[Infimum|největší dolní závora (infimum)]] velikostí všech možných takových množin. Intuitivně je to celková velikost takové množiny intervalů, které se vejdou do <math>E</math> co nejtěsněji a nepřekrývají se.
 
Tím je definována Lebesgueova vnější míra. Zda je tato vnější míra také Lebesgueovou mírou množiny <math>E</math>, závisí na další podmínce. Tato podmínka se ověřuje pomocí podmnožin reálných čísel <math>A</math>, z nichž každá rozděluje množinu <math>E</math> na dvě části: první část patří do <math>A</math> i do <math>E</math> (tj. průnik <math>A</math> a <math>E</math>), druhá část patří do <math>A</math>, ale nepatří do <math>E</math> (tj. množinový rozdíl <math>A</math> a <math>E</math>). Na tyto dvě části množiny <math>A</math> se aplikuje vnější míra. Pokud součet vnějších měr obou částí je roven vnější míře celé množiny <math>A</math>, a toto platí pro všechny množiny <math>A</math>, které jsou podmnožinou reálných čísel, pak Lebesgueova míra množiny <math>E</math> je rovna její vnější míře. Intuitivně to znamená, že množina <math>E</math> nesmí mít nějaké podivné vlastnosti, které způsobí rozdíl v míře jiné množiny, pokud je množina <math>E</math> použita jako „maska“, která „vyřezává“ z množin <math>A</math> části, pro které Lebesgueova vnější míra nevytváří Lebesgueovu míru. (Takové množiny nejsou Lebesgueovsky měřitelné.)
 
== Příklady ==
 
* Jakýkoli [[uzavřený interval]] &lt;''a'', ''b''&gt; [[reálné číslo|reálných čísel]] je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je délka ''b''−''a''. [[Otevřený interval]] (''a'', ''b'') má stejnou míru, protože [[rozdíl množin|rozdíl]] uzavřeného a otevřeného intervalu sestává pouze z koncových bodů ''a'' a ''b'' a má [[míra nula|míru nula]].
* Jakýkoli [[kartézský součin]] intervalů &lt;''a'', ''b''&gt; a &lt;''c'', ''d''&gt; je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je (''b''−''a'')(''d''−''c''), tj. plocha příslušného [[obdélník]]a.
Řádek 34 ⟶ 31:
| vydavatel = math stack exchange
| datum přístupu = 2019-12-26
| autor = Asaf Karagila
}}</ref><ref>{{Citace elektronické monografie
| url = https://math.stackexchange.com/q/142385
| titul = Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?
| vydavatel = math stack exchange
| datum přístupu = 2019-12-26
| autor = Asaf Karagila
}}</ref>
* Libovolná [[spočetná množina]] reálných čísel má Lebesgueovu míru 0.
* Speciálně Lebesgueova míra množiny [[racionální číslo|racionálních čísel]] z libovolného intervalu je 0, i když množina racionálních čísel je v intervalu [[Hustá množina|hustá]].
* [[Cantorova množina]] je příkladem [[nespočetná množina|nespočetné množiny]], která má Lebesgueovu míru nula.
* Pokud platí [[axiom determinovanosti]], pak všechny množiny reálných čísel jsou Lebesgueovsky měřitelné. Avšak [[axiom determinovanosti]] je nekompatibilní s [[axiom výběru|axiomem výběru]].
* [[Vitaliho množina|Vitaliho množiny]] jsou příkladem množin, které jsou [[neměřitelná množina|neměřitelné]] pomocí Lebesgueovy míry. Jejich existence závisí na [[axiom výběru|axiomu výběru]].
* [[Osgoodova křivka|Osgoodovy křivky]] jsou jednoduché rovinné [[Křivka|křivky]] s [[kladné číslo|kladnou]] Lebesgueovou mírou<ref>{{Citace periodika
Řádek 56 ⟶ 55:
| ročník = 4
| číslo = 1
| strana = 107–112
| doi = 10.2307/1986455
| issn = 0002-9947
| jstor = 1986455
| datum přístupu = 2019-12-26
}}</ref> (lze dokázat malou úpravou konstrukce [[Peanova křivka|Peanovy křívky]]). [[Dračí křivka]] je dalším neobvyklým příkladem.
* Libovolná přímka v <math>\mathbb{R}^n</math> pro <math>n \geq 2</math> má Lebesgueovu míru nula; obecně každá vlastní [[nadrovina]] má v obklopujícím prostoru Lebesgueovu míru nula.
 
== Vlastnosti ==
 
[[Soubor:Translation of a set.svg|náhled|300px|Translační invariance: Lebesgueova míra množiny <math>A+t</math> je stejná jako množiny <math>A</math>.]]
Lebesgueova míra na ℝ<sup>''n''</sup> má následující vlastnosti:
Řádek 89 ⟶ 88:
| url https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293
| url archivu = https://archive.org/details/realanalysis0000caro/page/293}}</ref>
# Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její nadmnožinu [[Množina Gδ|G<sub>''δ''</sub>]] a podmnožinu [[Množina Fσ|F<sub>''σ''</sub>]]. Tj. pokud ''A'' je Lebesgueovsky měřitelná , pak existuje nějaká [[Množina Gδ|G<sub>''δ''</sub> množina]] ''G'' a nějaká [[Množina Fσ|F<sub>''σ''</sub> množina]] ''F'' taková, že ''G''&nbsp;⊇&nbsp;''A''&nbsp;⊇&nbsp;''F'' a ''λ''(''G''&nbsp;\&nbsp;''A'')&nbsp;=&nbsp;''λ''(''A''&nbsp;\&nbsp;''F'')&nbsp;=&nbsp;0.
# Lebesgueova míra, která je [[Lokálně konečná míra|lokálně konečná]] a [[Vnitřně regulární míra|vnitřně regulární]], je [[Radonova míra]].
# Lebesgueova míra je [[Striktně kladná míra|striktně kladná]] na neprázdných otevřených množinách, takže její [[Nosič (teorie míry)|nosič]] je celé ℝ<sup>''n''</sup>.
Řádek 104 ⟶ 103:
 
== Množiny míry nula ==
 
Libovolná podmnožina ℝ<sup>''n''</sup> je ''množinou míry nula'', jestliže pro každé ε &gt; 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny ''n'' intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny [[spočetná množina|spočetné]] množiny jsou množinami míry nula.
 
Řádek 112 ⟶ 110:
 
== Konstrukce Lebesgueovy míry ==
 
Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací [[Carathéodoryova věta o rozšíření|Carathéodoryovy věty o rozšíření]]:
 
Řádek 136 ⟶ 133:
| titul = A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable
| periodikum = Annals of Mathematics
| jstor = 1970696
| řada = Second Series
| svazek = 92
Řádek 142 ⟶ 139:
| vydání = 1
| strany = 1–56
| doi = 10.2307/1970696
}}</ref>
 
== Vztah k jiným mírám ==
 
[[Borelovská míra]] souhlasí s Lebesgueovou mírou na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není [[úplná míra|úplná]].
 
Řádek 160 ⟶ 157:
 
=== Reference ===
 
{{Překlad|en|Lebesgue measure|931475700}}
<references>
Řádek 172 ⟶ 168:
| vydání = 3
| místo = New York
| strana = 56
}}</ref>
</references>
 
=== Související články ===
 
* [[Lebesgueova věta o hustotě]]
* [[Duffinova-Schaefferova domněnka]]
Řádek 183 ⟶ 179:
** [[Vitaliho množina]]
 
{{Autoritní data}}▼
{{Portály|Matematika}}
▲{{Autoritní data}}
 
[[Kategorie:Míry (teorie míry)]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Lebesgueova_míra“