Reálné číslo: Porovnání verzí

 

== Historie ==

[[Zlomek|Zlomky]] byly používány [[Egypt|Egypťany]] kolem roku [[10. století př. n. l.|1000 př. n. l.]] Okolo roku [[500 př. n. l.]] si [[Řecko|řečtí]] matematici v čele s [[Pythagoras|Pythagorem]] uvědomili potřebu iracionálních čísel. Záporná čísla byla objevena [[Indie|indickými]] matematiky okolo roku [[600]] n. l. a krátce nato znovuobjevena v [[Čína|Číně]]. V [[Evropa|Evropě]] nebyla obecně přijata do [[17. století]]. Rozvoj [[infinitezimální počet|kalkulu]] v [[18. století]] znamenal využívání celé množiny reálných čísel bez jejich přesného zavedení. Rigorózně definoval reálná čísla poprvé [[Georg Cantor]] v roce [[1871]].

 

== Definice ==

Axiomaticky mohou být reálná čísla zavedena jako úplně uspořádané těleso v tom smyslu, že každá neprázdná shora [[omezená množina|omezená podmnožina]] '''R''' má nejmenší [[majoranta|horní závoru]], tzv. [[supremum]]. To se nazývá [[Dedekindova úplnost]].

 

 

=== Úplnost ===

Hlavní důvod zavedení množiny reálných čísel a její nejdůležitější vlastnost je [[úplná teorie|úplnost]] ve smyslu [[úplný metrický prostor|úplného metrického prostoru]]. Díky této vlastnosti každá reálná [[cauchyovská posloupnost]] [[Limita posloupnosti#Konvergence posloupnosti|konverguje]], tedy má [[limita|limitu]]. Jinými slovy, všechny reálné [[posloupnost]]i, jejichž prvky se přibližují libovolně blízko sobě jak posloupnost postupuje, mají limitu v množině reálných čísel.

 

=== Další vlastnosti ===

Množina reálných čísel je [[nespočetná množina|nespočetná]], reálných čísel je tedy „mnohem“ více než [[přirozené číslo|přirozených čísel]], i když obě množiny jsou nekonečné. [[mohutnost|Kardinalita]] množiny reálných čísel je dokonce stejná jako kardinalita <math>2^{\mathbb{N}}</math>, [[potenční množina|množiny všech podmnožin]] <math>\mathbb{N}</math>. Tvrzení, že neexistuje žádná podmnožina reálných čísel s kardinalitou mezi kardinalitami množin přirozených čísel a reálných čísel je známé jako [[hypotéza kontinua]]. Za předpokladů bezespornosti běžně používané Zermelo-Fraenklovy [[teorie množin]] nemůže být tato hypotéza dokázána ani vyvrácena uvnitř této teorie.

 

 

== Zobecnění a rozšíření ==

Nejpřirozenějším rozšířením jsou [[komplexní číslo|komplexní čísla]], která obsahují řešení všech [[polynomiální rovnice|algebraických rovnic]] (tvoří ''algebraický uzávěr''). [[Těleso (algebra)|Těleso]] komplexních čísel však nelze přirozeným způsobem uspořádat.

 

 

[[Nadreálné číslo|Nadreálná čísla]] rozšiřují reálná čísla mimo jiné o nekonečné [[ordinální číslo|ordinály]] a [[infinitezimální číslo|infinitezimální]] veličiny.

 

{{Autoritní data}}