Kompaktní množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Upřesnění odkazu |
m {{Commonscat}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 3:
V [[Eukleidovský prostor|Euklidovských prostorech]] jsou kompaktní množiny právě [[omezená množina|omezené]] a [[uzavřená množina|uzavřené]] [[podmnožina|podmnožiny]]. Například v množině [[reálné číslo|reálných čísel]] '''R''' je uzavřený [[Interval (matematika)|interval]] [0, 1] kompaktní množinou, ale množina [[celé číslo|celých čísel]] '''Z''' nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.
Na [[metrický prostor|metrických prostorech]] lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí [[posloupnost (matematika)|
V konečnědimenzionálních [[normovaný vektorový prostor|normovaných vektorových prostorech]] je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.
Řádek 28:
* Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Viz [[Cantorova-Heineova věta]].
* Konečné sjednocení kompaktních prostorů je kompaktní.
* Platí [[Tichonovova věta]]: kartézský součin libovolné množiny kompaktů je kompaktní (v [[součinová topologie|součinové topologii]]).
* Kompaktní metrický prostor je [[separabilní prostor|separabilní]].
* Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá [[posloupnost]] má konvergentní podposloupnost.
Řádek 34:
== Kompaktní Lieovy grupy ==
Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu [[Lieova grupa|Lieových grup]] a jejich [[reprezentace (grupa)|reprezentací]]. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup.
* Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup, případně jejich konečná nakrytí a součiny s kružnicí).
▲Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu [[Lieova grupa|Lieových grup]] a jejich [[reprezentace (grupa)|reprezentací]]. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup.
* Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní [[míra (matematika)|míra]], tzv. [[Haarova míra]], díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování.
▲* Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup, případně jejich konečná nakrytí a součiny s kružnicí).
▲* Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní [[míra (matematika)|míra]], tzv. [[Haarova míra]], díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování.
* Všechny ireducibilní reprezentace kompaktní Lieovy grupy jsou konečněrozměrné a unitarizovatelné
* Každá reprezentace kompaktní Lieovy grupy se rozpadá na direktní součet konečně rozměrných reprezentací
Řádek 43 ⟶ 42:
== Kompaktní variety ==
Klasifikace obecných souvislých kompaktních variet není známa. Kompaktní varieta v dimenzi ''1'' je pouze [[kružnice]]. V dimenzi 2 jsou to orientovatelné anebo neorientovatelné plochy charakterizovány navíc jedním přirozeným číslem (genus). V dimenzi ''3'' byla v roce 2002 dokázána tzv. [[Poincarého věta|Poincarého hypotéza]]: každá kompaktní souvislá jednoduše souvislá ''3''-varieta je homeomorfní 3-[[sféra (matematika)|sféře]].
Řádek 53 ⟶ 51:
== Související články ==
* [[Topologie]]
== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Pahýl}}
| |||