Principia Mathematica: Porovnání verzí

Přidáno 36 bajtů ,  před 1 rokem
m
{{Commonscat}}; kosmetické úpravy
m (odebrána Kategorie:Historická literární díla za použití HotCat)
m ({{Commonscat}}; kosmetické úpravy)
[[Soubor:Russell, Whitehead - Principia Mathematica to 56.jpg|thumbnáhled|upright|Titulní strana zkráceného vydání ''Principií'']]
{{DISPLAYTITLE:''Principia Mathematica''}}
'''''Principia Mathematica''''' (''PM'') jsou třísvazkové dílo pojednávající o [[základy matematiky|základech matematiky]], napsané [[Alfred North Whitehead|Alfredem Northem Whiteheadem]] a [[Bertrand Russell|Bertrandem Russellem]] a vydané v letech 1910, 1912 a 1913. V roce 1927 vyšlo druhé vydání s důležitým Úvodem, Dodatkem A, jenž nahradil větu *9, a zcela novým Dodatkem C.
 
Dílo není totožné s Russellovou knihou ''Principy matematiky'' z roku 1903 ani se spisem ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]'' Isaaca Newtona.
 
== Rozsah zpracované matematiky ==
 
Principia obsahují [[teorie množin|teorii množin]], [[kardinální číslo|kardinální čísla]], [[ordinální číslo|ordinální čísla]] a [[reálné číslo|reálná čísla]]. Pokročilé partie [[reálná analýza|reálné analýzy]] již zpracovány nebyly. V principu bylo možné dále postupovat v odvozování matematických vět dále. Bylo to ovšem velmi zdlouhavé.
 
 
=== Axiómy ===
 
Jak uvádí [[Rudolf Carnap]] v článku „Die logizistische Grundlegung der Mathematik“ („Logicistické základy matematiky“, 1931), chtěl Russell vytvořit teorii, která by umožnila odvodit celou matematiku z ryze logických axiómů. Principia však vyžadují vedle základních axiomů teorie typů další tři axiomy, které nelze považovat za čistě logické: [[axiom nekonečna]], [[axiom výběru]] a [[axiom reducibility]]. Vzhledem k tomu, že první dva axiomy jsou existenční, mohl Russell formulovat matematická sdělení na nich závislá jako podmíněná tvrzení. Axiom reducibility je však nezbytný k tomu, aby mohly být formálně správně vyjádřena tvrzení z reálné analýzy, a není tedy možno přeformulovat tato tvrzení jako podmíněná. [[Frank P. Ramsey]] se snažil dokazovat, že Russellova rozvětvená teorie typů není potřebná (prostá teorie typů axiom reducibility nevyžaduje), ale jeho argumenty nebyly obecně přijaty.
 
=== Bezespornost a úplnost ===
 
Vedle otázky postavení axiómů jako logických pravd, tu zůstávají následující zásadní otázky:
 
Gödelův první teorém dokazuje, že Principia nemohou být současně konzistentní a úplné. Podle této věty pro každý dostatečně silný logický systém (včetně Principií), existuje tvrzení, G, která v podstatě říká: „Prohlášení G nelze dokázat.“ Pak platí: jestliže G je dokazatelné, pak je nepravdivé, a systém je tedy v rozporu, a jestliže G není dokazatelné, pak je pravdivé, a systém je proto neúplný.
 
Gödelův druhý teorém dokazuje, že žádný formální systém, který obsahuje základní aritmetiku, nemůže být použit k dokázání své vlastní konzistence. To znamená, že výrok „systém Principia Mathematica je bezrozporný“ nemůže být v systému Principia Mathematica dokázán – pokud ovšem není systém vnitřně sporný (v takovém případě by byl dokazatelný jak výrok, tak jeho negace).
 
=== Pragmatické aspekty ===
 
[[Ludwig Wittgenstein]] (např. ve svých přednáškách o základech matematiky na Cambridge v roce 1939) kritizoval Principia z různých pozic, například:
 
{{Překlad|en|Principia Mathematica|399084964}}
 
 
== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Teorie množin}}
 
1 614 459

editací