|
}}</ref>, tak teoretického výzkumu, kde jsou studovány případy s více čistýmy či smíšenými stavy, případy ve vyšších dimenzích atd.<ref name="barnett review" /><ref name="bergou review" />
Uveďme si nyní jednoduchý příklad. Mějme dva neortogonální dvourozměrné [[čistý stav|čisté stavy]] <math>| \varphipsi_1 \rangle</math> a <math>| \psipsi_2 \rangle</math>, jež bychom chtěli od sebe rozlišit. Kvůli neortogonalitě nelze vzít za měřicí projektory zobrazení <math>P_\varphiE_1 = | \varphipsi_1 \rangle \langle \varphipsi_1 |</math> a <math>P_\psiE_2 = | \psipsi_2 \rangle \langle \psipsi_2 |</math>, protože takovéto projektory samy nejsou ortogonální. Není těžké nahlédnout, že když si zvolíme projektory ve tvaru
:<math>P_1E_1 = | \varphipsi_2^\perp \rangle \langle \varphipsi_2^\perp |, \quad P_2E_2 = | \psipsi_1^\perp \rangle \langle \psipsi_1^\perp|,</math>
kde <math>| \varphipsi_1^\perp \rangle</math> je kolmý na <math>| \varphipsi_1 \rangle</math> (a podobně <math>| \psipsi_2^\perp \rangle</math> je kolmý na <math>| \psipsi_2 \rangle</math>), tak platí
:<math>\langle \varphipsi_1 | P_1E_2 | \varphipsi_1 \rangle = 0, \quad \langle \psipsi_2 | P_2E_1 | \psipsi_2 \rangle = 0.</math>
JinýmiTo slovyjest, pokud je vstupním stavem stav <math>| \varphipsi_1 \rangle</math>, tak nikdy nenaměříme projektor <math>P_1E_2</math>, a podobně, pokud je vstupním stavem stav <math>| \psipsi_2 \rangle</math>, tak nikdy nenaměříme projektor <math>P_2E_1</math>. Jinými slovy, pokud naměříme <math>E_1</math>, tak vstupním stavem musel být <math>| \psi_1 \rangle</math> a pokud naměříme <math>E_2</math>, tak byl vstupním stavem určitě<math>| \psi_2 \rangle</math>. To nám už dává určitou jistotu o tvaru vstupního stavu. Problémem však stále zůstává neortogonalita projektorů <math>P_1E_1</math> a <math>P_2E_2</math>, které tak nepopisují projektivní měření. Tuto potíž vyřešíme zavedením třetího operátoru tak, že výsledný soubor operátorů představuje POVM měření. POVM měření nevyžaduje, aby jednotlivé operátory byly na sebe kolmé. Onen třetí operátor, označený symbolem <math>P_E_?</math>, odpovídá případu, kdy ze získané hodnoty měření nelze určit, ve kterém stavu se systém před měřením nacházel. Jeho tvar zní
:<math>P_E_? = \mathbb{I} - P_1E_1 - P_2E_2,</math>
kde <math>\mathbb{I}</math> je [[identické zobrazení]]. Aby operátory <math>\{ P_1E_1, P_2E_2, P_E_? \}</math> skutečně tvořily POVM měření, musejí být všechny pozitivní (relace úplnosti plyne automaticky z definice operátoru <math>P_E_?</math>). Tento požadavek lze splnit, zavedeme-li dodatečné parametry <math>a</math> a <math>b</math>, které upravují tvar operátorů <math>P_1E_1</math> a <math>P_2E_2</math> do podoby
:<math>P_1E_1 = a | \varphipsi_2^\perp \rangle \langle \varphipsi_2^\perp |, \quad P_2E_2 = b | \psipsi_1^\perp \rangle \langle \psipsi_1^\perp|.</math>
Parametry <math>a</math> a <math>b</math> jsou kladná čísla, která nejsou obecně rovna jedničce, následkem čehož už nejsou operátory <math>P_1E_1</math> a <math>P_2E_2</math> projektory. Tato dvě čísla lze zvolit tak, aby operátor <math>P_?</math> byl kladný a navíc aby byla pravděpodobnost chybného určení stavu minimální. Tato minimální pravděpodobnost chyby, to jest pravděpodobnost naměření <math>P_E_?</math> pro optimálně zvolené parametry, je dána výrazem
:<math> p_? = |\langle \varphipsi_1 | \psipsi_2 \rangle|.</math>
Zdůrazněme, že ač tento vzorec připomíná [[Bornovo pravidlo]], nevyskytuje se v tomto vzorci druhá mocnina. Právě uvedený příklad byl poprvé studován Ivanovičem, Dieksem a Peresem a po nich se také pravděpodobnost <math>p_?</math> nazývá '''IDP mez''' ({{vjazyce|en}}: {{cizojazyčně|en|''IDP limit''}}). V sekci [[Kvantové měření#Zobecněné měření — příklad|"Zobecněné měření — příklad"]] je uveden konkrétní příklad se dvěma čistými stavy polarizace fotonů.
| 