Matematická indukce: Porovnání verzí

Přidáno 48 bajtů ,  před 1 rokem
→‎Indukční krok: úprava pro větší srozumitelnost (místo "což se rovná" specifikováno, že upravujeme pravou stranou). Do výsledku (poslední rovnice) zahrnuto i "m", pro korespondenci s předpokladem
(Ujasnění proč se, na rozdíl od principu uvedeného v přechozím oddílu, nedokazuje pro n = 0, ale pro n = 1.)
(→‎Indukční krok: úprava pro větší srozumitelnost (místo "což se rovná" specifikováno, že upravujeme pravou stranou). Do výsledku (poslední rovnice) zahrnuto i "m", pro korespondenci s předpokladem)
Nyní chceme ukázat, že pokud tvrzení platí pro ''n'' = ''m'', platí i pro ''n'' = ''m + 1''. Tj. platí-li tvrzení, píšeme-li v něm všude ''m'' místo ''n'', pak platí také píšeme-li v něm všude ''m + 1'' místo ''n''.
 
Předpokládejme tedy, že pro ''n'' = ''m'' tvrzení platí, čili:
 
:<math>1 + 2 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2}.</math>
 
Přičtením ''m + 1'' k oběma stranám této rovnice dostaneme:
 
:<math>1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{m(m + 1)}{2} + (m+ 1),</math>
 
cožkde pravá strana se rovná:
 
:<math>
= \frac{m(m + 1)}{2} + \frac{2(m + 1)}{2}
= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2}.
= \frac{(m+1)((m+1)+1)}{2}.
</math>
 
Máme tedy:
 
:<math>1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{(m + 1)((m + 1) + 1)}{2}.</math>
 
To je ale přesně tvrzení pro ''n'' = ''m + 1''. Dokázali jsme, že je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro ''n'' = ''m''.
Neregistrovaný uživatel