Topologický prostor: Porovnání verzí

Přidáno 384 bajtů ,  před 1 měsícem
m
+Kotva|Triviální topologie, napřímení odkazů, přeformátorvání literatury
m (- odkazy na cizí wiki)
m (+Kotva|Triviální topologie, napřímení odkazů, přeformátorvání literatury)
'''Topologický prostor''' je [[matematická struktura]], která formalizuje pojem ''tvar''. Umožňuje také definovat na prostoru takové pojmy, jako jsou [[konvergence (matematika)|konvergence]], [[kompaktnost]] a [[spojitost]]. Topologickými prostory se zabývá [[topologie]]. Vyskytuje se prakticky ve všech odvětvích moderní [[Matematika|matematiky]].
 
== Neformální úvod ==
Pojmy [[uzavřená množina]], [[kompaktní množina]], [[spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálné číslo|reálných čísel]]{{Doplňte zdroj}}. Lze je však definovat podobně na libovolné množině, na které je dána [[metrika (matematika)|metrika]], tzv. [[metrický prostor]]. Metrika je funkce, která splňuje několik axiomů, které zobecňují klasickou euklidovskou vzdálenost.
 
Pojem „topologický prostor“ vznikl proto{{Doplňte zdroj}}, aby bylo možné mnoho metrických pojmů rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
# [[průnik]] konečného počtu množin z <math>\tau</math> leží v <math>\tau</math>
 
Kolekci <math>\tau</math> říkáme '''topologie''' na <math>X</math> (pojem [[topologie]] se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v <math>\tau</math> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)množiny|doplňky]] v <math>X</math> uzavřené množiny.
 
Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako <math>(X,\tau)</math>.
O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<math>\subseteq</math>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.
 
{{Kotva|Triviální topologie}}Nejhrubší topologie na libovolné množině <math>X</math> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <math>X</math> a [[prázdná množina|prázdnou množinou]] <math>\emptyset</math>, tzn. <math>\tau = \{\emptyset,X\}</math>.
 
Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.
* [[Lp prostor|Obecné lebesguovy prostory]]
* Dlouhá přímka
* [[Algebraická varieta]] se [[Zariského topologie|Zariského topologií]]. Tato topologie, používaná v [[Algebraická geometrie|algebraické geometrii]] není Hausdorfovská.
 
== Literatura ==
* {{Citace monografie
* John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
| jméno = John L.
* James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988
| příjmení = Kelley
| titul = General topology
| edice = Fraduate Texts in Mathematics
| vydavatel = Birkhäuser
| rok = 1975
| ref = harv
| isbn = 0387901256
| isbn13 = 978-0387901251
}}
* {{Citace monografie
| jméno = James
| příjmení = Munkres
| titul = Topology
| vydavatel = Cambridge University Press
| vydání = 2
| rok = 1988
| ref = harv
| isbn = 9780131816299
}}
 
== Související články ==