Zermelova–Fraenkelova teorie množin: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m vysvětlení C v ZFC |
→Modely teorie množin: Oprava pravopisu značky: editace z mobilu editace z mobilní aplikace editace z mobilní aplikace pro Android |
||
Řádek 110:
Studium modelů teorie množin má význam proto, že podle [[Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky|Gödelovy věty o úplnosti]] je matematické tvrzení dokazatelné v teorii T, právě když platí v každém jejím modelu. Pokud tedy dokážeme zkonstruovat model ZFC, v němž nějaká matematická hypotéza platí, a model, v němž neplatí, pak jde o tvrzení, které nelze dokázat ani vyvrátit.
Mnoho takto nerozhodnutelných tvrzení má praktický dopad na další obory matematiky, například matematickou analýzu (příkladem je [[hypotéza kontinua]]). Všechny výsledky tohoto druhu (že něco nejde z axiomů ZFC dokázat) jsou ovšem formulovány s podmínkou
Model ZFC nelze konstruktivně popsat, neboť to by bylo důkazem bezespornosti ZFC. Důkaz tedy předpokládá, že existuje model ZFC, a z něj zkonstruuje jiný model, v němž neplatí tvrzení, jehož nedokazatelnost z axiomů ZFC je třeba demonstrovat. Tímto způsobem bylo například roku 1962 metodou [[Forcing|forcingu]] dokázáno, že axiom výběru ani hypotézu kontinua nelze z axiomu ZF ''vyvrátit'' (je-li ZF bezesporná). Že je nelze ze ZF ''dokázat'', to dokázal [[Kurt Gödel]] již o několik desetiletí dříve, neboť to lze prokázat bez studia modelů.
Modelem ZF může být jakákoli množina M s binární relací R (reprezentující náležení), pokud jsou v ní splněny axiomy. Zvláštní význam mají ovšem modely, kde R je přímo relace náležení. Mezi nimi mají významné postavení ''tranzitivní modely'', v nichž množina M je [[tranzitivní]] (obsahuje všechny
Další důležitá nerozhodnutelná tvrzení jsou [[Axiom konstruovatelnosti]] a [[Suslinova hypotéza]].
| |||