Logaritmus: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
značka: editace z Vizuálního editoru |
m →Intuitivní odvození: typografie za použití AWB |
||
Řádek 13:
== Intuitivní odvození ==
Myšlenka logaritmu vznikla jako rozšíření myšlenky [[exponent]]u. Že 2 × 2 = 4 můžeme zapsat také jako 2<sup>1</sup> × 2<sup>1</sup> = 2<sup>2</sup> a místo 4 × 8 = 32 můžeme napsat 2<sup>2</sup> × 2<sup>3</sup> = 2<sup>5</sup>. Exponent součinu je tedy součet exponentů obou součinitelů, takže při zvoleném základu (2) můžeme násobení převést na sčítání exponentů, zatím jen pro celé exponenty. Podobně můžeme zapsat i dělení: 32:4 = 2<sup>5</sup>: 2<sup>2</sup> = 2<sup>3</sup>, čili 8. Stejně 1/2 = 1:2 = 2<sup>0</sup>:2<sup>1</sup> = 2<sup>
Číslo 2 jsme zvolili jako základ a místo „exponentu dvou“ můžeme psát log<sub>2</sub>. Můžeme tedy napsat, že log<sub>2</sub> 32 = 5, log<sub>2</sub> 8 = 3, log<sub>2</sub> 4 = 2, log<sub>2</sub> 1 = 0 a log<sub>2</sub> 0,5 =
Protože 8 = 2<sup>3</sup>, můžeme také psát 8 = 2<sup>1</sup> × 2<sup>1</sup> × 2<sup>1</sup> = 2<sup>(1+1+1)</sup> a 8 = 2<sup>(3x1)</sup>, takže místo umocňování stačí exponent násobit a místo odmocnění exponent dělit.
Kdybychom místo dvojky zvolili základ 10 (desítkový logaritmus), můžeme psát log<sub>10</sub> 0,1 =
Dokud jsme mluvili o exponentech, mělo to smysl jen pro celá čísla. Když jsme ale zmínili, že místo odmocňování stačí exponent dělit, může vyjít i necelé číslo: druhou odmocninu z deseti bychom mohli zapsat jako 10<sup>(0,5)</sup>. To je právě to, co dělá logaritmická funkce: pokud různé hodnoty výrazu z<sup>x</sup> vyneseme do grafu (viz obrázek), můžeme jimi proložit spojitou křivku – logaritmickou funkci, které má hodnotu pro všechna reálná x>0. Logaritmus čísla 3 bude někde mezi log<sub>10</sub>1 a log<sub>10</sub>10, tedy reálné číslo někde mezi nulou a jedničkou. Z logaritmické tabulky můžeme zjistit, že log<sub>10</sub> 3 = 0,47712125472, takže číslo 3 můžeme zapsat jako 10<sup>0,47712125472</sup>. I zde bude platit, že log<sub>10</sub> 10x = (log<sub>10</sub> x) + 1, log<sub>10</sub> 0,1x = ( log<sub>10</sub> x) - 1, že logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů obou činitelů a logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmus dělence minus logaritmus dělitele. Logaritmus mocniny je násobek exponentu a logaritmu mocněnce. Logaritmus odmocniny je podíl logaritmu odmocněnce a odmocnitele.
| |||