Verze z 8. 12. 2020, 23:49 editovat 194.228.32.239 (diskuse) →‎Matice vyšších řádů značka: editace z Vizuálního editoru ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 9. 12. 2020, 00:06 editovat zrušit editaci 194.228.32.239 (diskuse) →‎Vlastnosti značka: editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 103: a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math>, :tzn. determinant je homogenní funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců). * Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici <math>\mathbf{B}</math>, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice <math>\mathbf{A}</math> řádu <math>n</math> číslem <math>c</math>, tzn. <math>b_{ij} = c \cdot a_{ij}</math>. Pak platí :<math>\det \mathbf{B} = c^n \det \mathbf{A}</math> * Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí Řádek 121 ⟶ 122: b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math>, :tzn. determinant je aditivní funkce svých řádků i sloupců. * Spolu s výše uvedenou homogenitou to znamená, že determinant je [[Multilineární forma\|multilineární formou]] svých řádků i sloupců. * Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné. * Z ~~předchozích~~předchozí ~~vlastností~~vlastnosti plyne, že pokud má matice <math>\mathbf{A}</math> dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce (a není nad tělesem charakteristiky 2), tak musí platit <math>\det \mathbf{A} = - \det \mathbf{A} = 0</math>. * Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako [[lineární kombinace\|lineární kombinaci]] ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový. * Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven [[nula\|nule]]. * Determinant matice '''A''', kterou získáme z matice '''B''' tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice '''B''' přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice '''B''', je roven determinantu matice '''B''', tzn. <math>\det \mathbf{A} = \det \mathbf{B}</math>. Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění. * Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují [[Vektorový prostor\|prostor]] [[Dimenze vektorového prostoru\|dimenze]] nižší, než je rozměr matice. Taková matice se nazývá [[singulární matice\|singulární]]. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, se nazývá [[regulární matice\|regulární]]. * Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice <math>\mathbf{A}</math> je tedy roven determinantu [[transponovaná matice\|transponované matice]] <math>\mathbf{A}^T</math>, tzn. :<math>\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^T</math>. Řádek 145 ⟶ 150: :<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}</math>, tzn. násobí se řádky matice '''A''' se sloupci matice '''B''', :<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}</math>, tzn. násobí se sloupce matice '''A''' se sloupci matice '''B'''. :Speciálně platí pro determinant součinu matic, že je roven součinu jejich determinantů, :<math>\det \mathbf{(AB)}=\det \mathbf{(BA)}=\det \mathbf{A}\cdot\det \mathbf{B}.</math> == Odkazy ==

Determinant: Porovnání verzí