Booleova algebra: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Formální definice: jenže to taky musí dávat smysl |
m oprava poznámkového aparátu, -neužitečné podsekce, které nelogicky dělí souvislý text |
||
Řádek 1:
'''Booleova algebra''' je [[algebraická struktura]] se dvěma [[Binární operace|binárními]] a jednou [[Unární operace|unární]] [[Operace (matematika)|operací]], která zobecňuje vlastnosti [[množina|množinových]] a [[logika|logických]] operací. Je nazvána podle britského matematika [[George Boole]]a. Mimo oblast [[Algebra|algebry]] se pojem Booleova algebra zužuje na ''dvouprvkovou'' Booleovu algebru
== Formální definice ==
Booleova algebra je definována jako [[distributivní svaz|distributivní]] [[komplementární svaz|komplementární]] [[Svaz (matematika)|svaz]].
Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra je [[uspořádaná n-tice|šestice]] (''A'', ∧, ∨, −, 0, 1), kde ''A'' je neprázdná [[množina]], 0 ∈ ''A'' je [[nejmenší prvek|nejmenší]], 1 ∈ ''A'' [[největší prvek]], − je unární operace (doplněk neboli [[Komplement (svazy)|komplement]]) a ∧, ∨ jsou binární operace ([[průsek (matematika)|průsek]] a [[spojení (matematika)|spojení]]) na ''A'', splňující následující [[axiom]]y.
Řádek 43:
== Příklady ==
{|class="wikitable"
Řádek 57:
|}
▲* Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde o [[spor (logika)|spor]], nýbrž o dvojí značení jednoho [[prvek množiny|prvku]]). Všechny [[operace (matematika)|operace]] dávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když nepoužijeme axiom nedegenerovanosti.
▲Nejvýznamnějšími příklady Booleových algeber jsou algebry [[Výrok (logika)|výroků]] (či obecněji [[Lindenbaumova algebra|Lindenbaumovy algebry]] [[formule (logika)|formulí]]) a množinové algebry.
* U algeber [[Výrok (logika)|výroků]] v dvouhodnotové logice je ''A'' = {nepravda, pravda} a operace odpovídají [[konjunkce (matematika)|konjunkci]], [[disjunkce|disjunkci]] a [[negace|negaci]]; pokud ztotožníme 0 = nepravda, 1 = pravda, algebra přejde na výše uvedenou dvouprvkovou algebru nad množinou ''A'' = {0, 1}
* [[Lindenbaumova algebra|Lindenbaumovy algebry]] jsou definovány nad množinou ''A'' všech tříd ekvivalence [[formule (logika)|formulí]] daného [[jazyk (logika)|jazyka]] a operace jsou stejné jako u algeber [[Výrok (logika)|výroků]].
Řádek 67 ⟶ 65:
== Odkazy ==
=== Reference ===
<references>
| |||