Wikipedie

Bernoulliho rovnice: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m →‎Odvození pro nestlačitelnou kapalinu: Použití význačnějšího označení
Bez shrnutí editace
značky: možný vandalismus editace z Vizuálního editoru
Řádek 1:
{{různé významy|tento=[[mechanika tekutin|mechanice tekutin]]|druhý=[[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]]|stránka=Bernoulliho diferenciální rovnice}}
'''BernoullihoBernoulliova rovnice''' je vztah užívaný v [[Mechanika tekutin|mechanice tekutin]], který odvodil [[Daniel Bernoulli]] a který vyjadřuje [[zákon zachování mechanické energie]] pro [[ustálené proudění]] [[ideální kapalina|ideální kapaliny]] (Energie je v rovnici obvykle přepočtena na [[Objem|objemovou jednotku]] kapaliny.).
:<math>\frac{1}{2} \rho v^2 + p + \rho u(\mathbf{x}) = \mathrm{konst.}</math>
kde <math>\rho</math> je [[hustota]] [[Kapalina|kapaliny]], ''v'' je [[rychlost]] [[proudění]], ''p'' je [[tlak]] v kapalině a u je potenciál vnějšího [[Fyzikální pole#Konzervativní a nekonzervativní pole|konzervativního pole]] mechanickéobjemové síly ([[Gravitace|gravitační]] síly, unášivé [[Setrvačná síla|setrvačné]] síly nebo jejich kombinace, jako je [[Newtonův gravitační zákon#Tíhová síla|tíhová síla]]) v daném bodě. První člen v BernoullihoBernoulliově rovnici se nazývá '''dynamický n. kinetický tlak''' a představuje objemovou hustotu [[Kinetická energie|kinetické energie]], druhý člen představuje [[Tlaková potenciální energie|tlakovou potenciální energii]] objemové jednotky kapaliny a třetí člen potenciální energii objemové jednotky kapaliny v silovém poli vnější konzervativní mechanické síly, v němž se kapalina nachází. ''Součet'' [[kinetická energie|kinetické energie]] a [[potenciální energie]] (tlakové + vnější) v jednotce objemu je ve všech místech trubicekapaliny ''stejný''. Tato rovnice bývá často uváděna ve tvaru, který platí pro homogenní [[Gravitace#Tíhové pole|tíhové]] či [[homogenní gravitační pole]]:
 
:<math>\frac{1}{2} \rho v^2 + p + \rho g h = \mathrm{konst.}</math>
Řádek 23:
S využitím vztahu
 
:<math>\mathrm{d}x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =
\frac{\mathrm{d}vx}{\mathrm{d}xt}\,\frac{ \mathrm{d}x}{v=
v\mathrm{d}t}v=
= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)</math>
 
tato rovnice přejde na
 
:<math>\rho S \,\mathrm{d}x \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right) = -S\,\mathrm{d}p,</math>
 
tedy
 
:<math>\rho \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\rho v^2}{2}+p\rho^{-1}\right) = 0,</math>
 
což zintegrováním dá
Řádek 38 ⟶ 40:
:<math>\rho \frac{v^2}{2}+ p = \mathrm{konst.}</math>
 
Pokud se navíc nacházíme v [[potenciál]]upoli nějaké vnější konzervativní mechanickéobjemové síly (např. [[gravitace]]), přičteme tentojeho potenciál <math>\rho u</math> (na jednotku objemu) k tlakovému potenciálu, čímž přímočaře získáme rovnici
 
:<math>\rho \frac{v^2}{2}+ p + \rho u(\mathbf{x}) = \mathrm{konst.}</math>
Řádek 48 ⟶ 50:
:<math>\frac12 m v^2 + p V + m g h= \mathrm{konst.}</math>
 
vztažením energie na jeden kilogram tekutinykapaliny (vydělením hmotností) dostaneme tzv. energetický tvar rovnice:
 
:<math>\frac12 v^2 + {p\over \rho} + g h = \mathrm{konst.}</math>
 
nebo (vydělením objemem) tlakový tvar:
 
:<math>\frac12 \rho v^2 + p + \rho g h= \mathrm{konst.}</math>
 
případně původní výškový tvar (vydělením tíhou):
:<math>{v^2\over 2g} + {p\over \rho g} + h= \mathrm{konst.}</math>
=== Důsledky ===
Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že statický [[tlak]] proudící kapaliny klesá s rostoucí [[rychlost]]í. Pokud [[plyn]] proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. Tomuto jevu se říká [[hydrodynamický paradox]] (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u [[rozprašovač]]ů, natěračských stříkacích pistolí, [[ejektor]]ů nebo v [[karburátor]]u.
 
;Výtoková rychlost
Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokovou rychlost kapaliny při vytékání malým otvorem z nádoby s hladinou ve výšce ''h'', neboť lze říci, že výtoková rychlost ideální kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky ''h'':
 
:<math>v = \sqrt{2gh}</math>
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Bernoulliho_rovnice“