Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

m
bez shrnutí editace
m (spresneni ohledne nekonecnych dimenzi)
m
'''Dimenzí''' (nebo také '''[[rozměr|rozměrem]]''') [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nazýváme počet prvků libovolné [[báze (algebra)|báze]] tohoto [[prostor]]u. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
 
Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. píšeme <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako ''konečněrozměrný''. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy <i>někonečněrozměrný</i>''nekonečněrozměrný'', nebo-li říkáme, že má [[nekonečno|nekonečnou]] dimenzi. Za předpokladu [[axiom výběru|axiomu výběru]] má každý vektorový prostor bázi. Pak můžme dimenzi příslušného prostoru definovat jako [[kardinálkardinální (matematika)číslo|kardinalitu]] bazebáze.
 
== Příklady ==
* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim_F F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>, <math>F^n</math> je chápáno jako vektorový prostor nad <math>F</math>).
* [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná a označuje se <math>\aleph_0</math> ([[alef 0]]).
 
== Vlastnosti ==
6 016

editací