Pohybová rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m robot přidal: ja:運動方程式 |
m relativisticka poh. rovnice |
||
Řádek 35:
Vhodnou úpravou lze získat rovnice použitelné pro určitou [[látka|látku]]. Např. pro [[proudění|pohyb]] viskozní tekutiny jsou pohybovými rovnicemi [[Navier-Stokesova rovnice|Navierovy-Stokesovy rovnice]].
==Teorie relativity==
V [[relativistická fyzika|relativistické fyzice]] má pohybová rovnice tvar
:<math>\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math>,
tzn. [[síla]] <math>\mathbf{F}</math> je rovna časové změně [[hybnost]]i <math>\mathbf{p}</math>.
V relativistické fyzice je však třeba brát v úvahu také závislost [[relativistická hmotnost|hmotnosti]] na [[rychlost]]i. Proto nelze v obecném relativistickém případě použít stejný výraz jako v klasické mechanice. Výjádření pohybové rovnice ve stejném tvaru jako v klasické mechanice lze použít pouze v klidové soustavě daného tělesa. V klidové soustavě tedy platí zákony klasické mechaniky.
===Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v teorii relativity===
Pokud předpokládáme, že na [[pohyb]]ující se [[těleso]] působí [[síla]], která má stejný směr jako pohybující se těleso, přičemž v okamžitě klidovém systému tělesa zůstává velikost této síly stejná, tzn. nemění se v čase. Pak (v této klidové soustavě) bude konstantní také [[zrychlení]] vzhledem k okamžitě klidové soustavě, které je pro pozorovatele spojeného s tělesem mírou [[neinerciální systém|neinerciálnosti]] jeho pohybu. Pohyb lze tedy ve [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]] považovat za [[rovnoměrně zrychlený pohyb|rovnoměrně zrychlený]], ačkoliv [[zrychlení]] vzhledem k pevně danému [[inerciální systém|inerciálnímu systému]] v něm konstantní není.
Nechť síla působí ve směru osy ''x'' na těleso, které se v [[čas]]e <math>t=0</math> nachází v bodě <math>x=0</math> a má [[nula|nulovou]] [[rychlost]], tzn. <math>v=0</math>. Z relativistické pohybové rovnice bude platit
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=g</math>,
kde <math>g=\frac{F}{m_0}</math> označuje klidové [[zrychlení]].
[[integrace|Integrací]] tohoto vztahu získáme pro rychlost výraz
:<math>v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}}</math>
a další integrací lze určit [[poloha|polohu]] jako
:<math>x = \frac{c^2}{g}\left(\sqrt{1 + \frac{g^2t^2}{c^2}} - 1\right)</math>
Je-li <math>{(gt)}^2\ll c^2</math>, lze výraz pro rychlost [[aproximace|aproximovat]] klasickým vztahem
:<math>v = gt</math>
Podobně lze polohu aproximovat klasickým vztahem
:<math>x = \frac{1}{2}gt^2</math>
Avšak pro <math>t\to\infty</math> vyplývá z vyjádření rychlosti, že <math>v\to c</math>. V [[teorie relativity|teorii relativity]] se tedy rychlost tělesa bude blížit [[rychlost světla|rychlosti světla]], avšak nikdy ji nepřekoná. V tomto bodě se závěry teorie relativity odlišují od klasické mechaniky.
Pokud výraz pro polohu přepíšeme do tvaru
:<math>{\left(x+\frac{c^2}{g}\right)}^2 - c^2t^2 = \frac{c^4}{g^2}</math>
Tato [[rovnice]] představuje rovnici [[hyperbola|hyperboly]]. [[Graf]]em studovaného pohybu v [[rovina|rovině]] ''xt'' je tedy [[hyperbola]] (na rozdíl od klasického případu, kdy se jedná o [[parabola|parabolu]]). V této souvislosti se také hovoří o '''hyperbolickém pohybu'''.
===Relativistický pohyb v homogenním magnetickém poli===
Na těleso s [[elektrický náboj|elektrickým nábojem]] <math>e</math>, které se pohybuje v [[magnetické pole|magnetickém poli]] o [[magnetická indukce|indukci]] <math>\mathbf{B}</math> [[rychlost]]í <math>\mathbf{v}</math> působí [[síla]]
:<math>\mathbf{F}=e\mathbf{v}\times\mathbf{B}</math>
Tento vztah platí i v [[teorie relativity|teorii relativity]].
Předpokládejme, že magnetické pole je [[homogenní pole|homogenní]], [[statické pole|časově neproměnné]], a [[vektor]] <math>\mathbf{B}</math> má směr [[souřadnicová osa|osy]] ''z''.
Omezíme-li se na popis pohybu v [[rovina|rovině]] ''xy'', dostaneme pohybové rovnice
:<math>\frac{\mathrm{d}p_x}{\mathrm{d}t} = ev_yB</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}p_y}{\mathrm{d}t} = -ev_xB</math>
V nerelativistické fyzice bychom do těchto rovnic dosadili <math>\mathbf{p}=m_0\mathbf{v}</math> a řešením by byl [[pohyb po kružnici]] s [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] <math>\omega_0=\frac{eB}{m_0}</math>. V teorii relativity je však [[relativistická hmotnost|hmotnost]] závislá na rychlosti.
[[násobení|Vynásobíme]] první z rovnic <math>v_x</math> a druhou z rovnic <math>v_y</math> a [[součet|sečteme]], dostaneme
:<math>v_x\frac{\mathrm{d}p_x}{\mathrm{d}t} + v_y\frac{\mathrm{d}p_y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0</math>
[[integrace|Integrací]] dostaneme [[zákon zachování energie]]
:<math>mc^2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\mbox{konst}</math>
Odsud plyne, že je možné považovat [[hmotnost]] <math>m</math> za [[konstanta|konstantu]] a dostaneme obdobné řešení jako v nerelativistickém případě, tzn. pohyb probíhá po kružnici s úhlovou rychlostí
:<math>\omega = \frac{eB}{m} = \frac{eB\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m_0}</math>
Z tohoto výrazu plyne, že při relativistickém pohybu se úhlová rychlost zmenšuje s rostoucí rychlostí částice.
Je-li <math>r</math> [[poloměr]] [[kružnice]], po které se těleso pohybuje, je rychlost pohybu po obvodu určena jako <math>v=r\omega</math>, odkud s pomocí předchozích vztahů dostáváme
:<math>v = \frac{\omega_0r}{\sqrt{1-{\left(\frac{\omega_0r}{c}\right)}^2}}</math>
Pro <math>r\to\infty</math> pak platí <math>v\to c</math>, tzn. rychlost pohybu tělesa se blíží rychlosti světla, ale nedosáhne jí.
== Kvantová mechanika ==
| |||