Matice: Porovnání verzí

Přidáno 80 bajtů ,  před 13 lety
Změna příkazů \mathbf na \mathcal – nejsem si jist, zda-li je to tak správně, pokud ne, přijměte, prosím, mou nejhlubší omluvu. Knížka o LaTeXu a skripta z Vysoké školy báňské však používají \mathcal.
m (robot přidal: hu:Mátrix (matematika))
(Změna příkazů \mathbf na \mathcal – nejsem si jist, zda-li je to tak správně, pokud ne, přijměte, prosím, mou nejhlubší omluvu. Knížka o LaTeXu a skripta z Vysoké školy báňské však používají \mathcal.)
Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími '''řádek''' a '''sloupec''', v nichž se prvek nalézá. Např. ''a''<sub>53</sub> leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako ''a''<sub>53</sub>, nebo první nahoře a druhý dole jako ''a''<sup>5</sup><sub>3</sub>, což má význam jakmile je potřeba rozlišovat [[kovariance a kontravariance|kovariantní]] a [[kovariance a kontravariance|kontravariantní]] indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s [[tenzor]]y. Indexy se v české notaci (na rozdíl např. od notace anglické) neoddělují čárkou. Tedy matici ''m'' krát ''n'' zapíšeme jako:
 
:<math>\mathbfmathcal{A}=\begin{pmatrix}
{a^1}_1 & {a^1}_2 & \dots & {a^1}_n\\
{a^2}_1 & \dots & \dots & \dots \\
 
Pro zjednodušení se také používá zápisu
:<math>\mathbfmathcal{A} = (a_{ij})</math>.
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
:<math>\mathbfmathcal{A} = {(a_{ij})}_{m,n}</math>.
 
=== Příklad ===
* Je-li <math>n = m</math>, pak matici označujeme jako [[čtvercová matice|čtvercovou matici]] <math>n</math>-tého řádu (stupně). Pro <math>n \neq m</math> bývá matice označována jako ''obdélníková''.
* Pokud jsou všechny prvky matice [[nula|nulové]], tzn. <math>a_{ij} = 0</math> pro všechna <math>i, j</math>, označujeme matici jako ''[[nulová matice|nulovou]]''.
* Matici, která má nenulové prvky pouze na [[hlavní diagonála|hlavní diagonále]], tzn. <math>a_{ij} = 0</math> pro <math>i \neq j</math> a <math>a_{ij} \neq 0</math> pro <math>i = j</math>, nazýváme ''[[diagonální matice|diagonální maticí]]''. Prvky diagonální matice <math>\mathbfmathcal{D}</math> lze vyjádřit pomocí [[Kroneckerovo delta|Kroneckerova symbolu]]
:<math>d_{ij} = \lambda_i \delta_{ij} \,</math>,
kde <math>\lambda_i = d_{ii}\,</math> jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky <math>\lambda_i</math> diagonální matice platí <math>\lambda_i = 1 \,</math>, jedná se o [[jednotková matice|jednotkovou matici]] <math>\mathbfmathcal{E}</math>, pro jejíž prvky platí
:<math>e_{ij} = \delta_{ij}</math>
* Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako ''horní trojúhelníkovou matici''. Taková matice má tvar
Podobně označujeme jako ''dolní trojúhelníkovou matici'' takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
* Jsou-li <math>m</math> i <math>n</math> konečná čísla, označujeme matici jako ''konečnou''.
* Matici, která vznikne z matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako ''transponovanou matici'' a značíme <math>\mathbfmathcal{A}^T</math>. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí
:<math>a_{ij}^T = a_{ji} \,</math>
* Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. <math>\mathbfmathcal{A}^T = \mathbfmathcal{A}</math>, pak matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> označujeme jako ''symetrickou''. Pro prvky symetrické matice platí
:<math>a_{ij} = a_{ji} \,</math>.
* Matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> označujeme jako ''antisymetrickou'', platí-li pro všechny prvky této matice vztah
:<math>a_{ij} = -a_{ji} \,</math>.
* Pokud každý prvek <math>a_{ij}</math> matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> nahradíme prvkem k němu [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženým]], pak získáme matici <math>\mathbfmathcal{A}^*</math>, kterou označujeme jako ''komplexně sdruženou matici''.
* Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn. <math>\mathbfmathcal{A}^* = \mathbfmathcal{A}</math>, pak matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> nazýváme ''reálnou maticí''.
* Provedeme-li na matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> transpozici a komplexní sdružení, získáme matici ''hermiteovsky sdruženou''. Hermiteovsky sdruženou matici zapisujeme jako
:<math>\mathbfmathcal{A}^+ = {(\mathbfmathcal{A}^T)}^*</math>
* Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. <math>\mathbfmathcal{A}^+ = \mathbfmathcal{A}</math>, říkáme, že matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> je ''hermiteovská'' (též ''samosdružená'' nebo ''samoadjungovaná'').
* Matice <math>\mathbfmathcal{B}</math> je ''[[Inverzní matice|inverzní maticí]]'' k matici <math>\mathbfmathcal{A}</math>, pokud platí
:<math>\mathbfmathcal{A} \cdot \mathbfmathcal{B} = \mathbfmathcal{B} \cdot \mathbfmathcal{A} = \mathbfmathcal{1}</math>,
kde <math>\mathbfmathcal{1}</math> je jednotková matice.
* Matici <math>\mathbfmathcal{A}</math>, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako ''[[Regulární matice|regulární matici]]''. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako ''[[Singulární matice|singulární]]''.
* Matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> označujeme jako ''[[Unitární matice|unitární]]'', jestliže inverzní matice <math>\mathbfmathcal{A}^{-1}</math> je rovna matici hermiteovsky sdružené <math>\mathbfmathcal{A}^+</math>, tzn.
:<math>\mathbfmathcal{A}^{-1} = \mathbfmathcal{A}^T</math>
 
* ''[[Adjungovaná matice]]'' k matici '''A''' je transponovaná matice [[algebraický doplněk|algebraických doplňků]] matice '''A'''.
[[Operace (matematika)|Operace]] s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.
 
* O dvou maticích <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> prohlásíme, že jsou si rovny, pokud mají stejný počet řádků i sloupců a každý prvek <math>a_{ij}</math> matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> je roven odpovídajícímu prvku <math>b_{ij}</math> matice <math>\mathbfmathcal{B}</math>. Rovnost matic <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> zapíšeme
:<math>\mathbfmathcal{A} = \mathbfmathcal{B}</math>
* [[Násobení|Vynásobíme-li]] matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> komplexním číslem <math>\lambda</math>, získáme novou matici <math>\mathbfmathcal{B}</math>, jejíž prvky jsou <math>\lambda</math> násobky prvků matice <math>\mathbfmathcal{A}</math>, tzn.
:<math>b_{ij} = \lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij}) \,</math>
Výsledná matice <math>\mathbfmathcal{B}</math> je tedy stejného typu jako původní matice <math>\mathbfmathcal{A}</math>.
* Mějme dvě matice <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> typu <math>m \times n</math>. Jako [[součet]] těchto matic označíme matici <math>\mathbfmathcal{S}</math> typu <math>m \times n</math>
:<math>\mathbfmathcal{S} = \mathbfmathcal{A} + \mathbfmathcal{B}</math>
Prvky matice <math>\mathbfmathcal{S}</math> jsou určeny vztahem
:<math>s_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \,</math>
Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.
* [[Odčítání|Rozdíl]] dvou matic <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> (stejného typu <math>m \times n</math>) je nová matice <math>\mathbfmathcal{R}</math> typu <math>m \times n</math>
:<math>\mathbfmathcal{R} = \mathbfmathcal{A} - \mathbfmathcal{B}</math>
Prvky matice <math>\mathbfmathcal{R}</math> jsou určeny vztahem
:<math>r_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \,</math>
Rozdíl matic <math>\mathbfmathcal{A}</math> a <math>\mathbfmathcal{B}</math> lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.
* Obecně lze pro matice <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}, ...</math>, které jsou stejného typu, definovat [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] matic
:<math>\mathbfmathcal{L} = \lambda \mathbfmathcal{A} + \mu \mathbfmathcal{B} + ...</math>,
kde prvky matice <math>\mathbfmathcal{L}</math> určuje výraz
:<math>l_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu b_{ij} + ...</math>
* Máme-li matici '''A''' typu ''m''×''s'' a matici '''B''' typu ''s''×''n'' pak, jejich [[násobení|součinem]] je matice '''C''' typu ''m''×''n'', který značíme
:<math>\mathbfmathcal{C}=\mathbfmathcal{A}\cdot\mathbfmathcal{B}</math>,
přičemž prvky matice '''C''' jsou určeny jako
:<math>c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj}</math>
:<math>{c^i}_j = \sum_{k=1}^{s} {a^i}_k {b^k}_j</math>.
Násobení matic je také označováno jako '''[[maticové násobení]]'''.
* Opakovaným násobením matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> sama sebou lze vytvářet ''[[mocnina|mocniny]] matic'' <math>\mathbfmathcal{A}^k</math>. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu [[polynom]]u
:<math>P(\mathbfmathcal{A}) = c_0 + c_1 \mathbfmathcal{A} + c_2 \mathbfmathcal{A}^2 + ... + c_n \mathbfmathcal{A}^n</math>
 
== Související články ==
47

editací