Wikipedie

Matice: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Rei-bot (diskuse | příspěvky)
16 238 editací
m robot přidal: hu:Mátrix (matematika)
Miloso (diskuse | příspěvky)
47 editací
Změna příkazů \mathbf na \mathcal – nejsem si jist, zda-li je to tak správně, pokud ne, přijměte, prosím, mou nejhlubší omluvu. Knížka o LaTeXu a skripta z Vysoké školy báňské však používají \mathcal.
Řádek 11:
Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími '''řádek''' a '''sloupec''', v nichž se prvek nalézá. Např. ''a''<sub>53</sub> leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako ''a''<sub>53</sub>, nebo první nahoře a druhý dole jako ''a''<sup>5</sup><sub>3</sub>, což má význam jakmile je potřeba rozlišovat [[kovariance a kontravariance|kovariantní]] a [[kovariance a kontravariance|kontravariantní]] indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s [[tenzor]]y. Indexy se v české notaci (na rozdíl např. od notace anglické) neoddělují čárkou. Tedy matici ''m'' krát ''n'' zapíšeme jako:
 
:<math>\mathbfmathcal{A}=\begin{pmatrix}
{a^1}_1 & {a^1}_2 & \dots & {a^1}_n\\
{a^2}_1 & \dots & \dots & \dots \\
Řádek 26:
 
Pro zjednodušení se také používá zápisu
:<math>\mathbfmathcal{A} = (a_{ij})</math>.
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
:<math>\mathbfmathcal{A} = {(a_{ij})}_{m,n}</math>.
 
=== Příklad ===
Řádek 59:
* Je-li <math>n = m</math>, pak matici označujeme jako [[čtvercová matice|čtvercovou matici]] <math>n</math>-tého řádu (stupně). Pro <math>n \neq m</math> bývá matice označována jako ''obdélníková''.
* Pokud jsou všechny prvky matice [[nula|nulové]], tzn. <math>a_{ij} = 0</math> pro všechna <math>i, j</math>, označujeme matici jako ''[[nulová matice|nulovou]]''.
* Matici, která má nenulové prvky pouze na [[hlavní diagonála|hlavní diagonále]], tzn. <math>a_{ij} = 0</math> pro <math>i \neq j</math> a <math>a_{ij} \neq 0</math> pro <math>i = j</math>, nazýváme ''[[diagonální matice|diagonální maticí]]''. Prvky diagonální matice <math>\mathbfmathcal{D}</math> lze vyjádřit pomocí [[Kroneckerovo delta|Kroneckerova symbolu]]
:<math>d_{ij} = \lambda_i \delta_{ij} \,</math>,
kde <math>\lambda_i = d_{ii}\,</math> jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky <math>\lambda_i</math> diagonální matice platí <math>\lambda_i = 1 \,</math>, jedná se o [[jednotková matice|jednotkovou matici]] <math>\mathbfmathcal{E}</math>, pro jejíž prvky platí
:<math>e_{ij} = \delta_{ij}</math>
* Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako ''horní trojúhelníkovou matici''. Taková matice má tvar
Řádek 71:
Podobně označujeme jako ''dolní trojúhelníkovou matici'' takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
* Jsou-li <math>m</math> i <math>n</math> konečná čísla, označujeme matici jako ''konečnou''.
* Matici, která vznikne z matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako ''transponovanou matici'' a značíme <math>\mathbfmathcal{A}^T</math>. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí
:<math>a_{ij}^T = a_{ji} \,</math>
* Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. <math>\mathbfmathcal{A}^T = \mathbfmathcal{A}</math>, pak matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> označujeme jako ''symetrickou''. Pro prvky symetrické matice platí
:<math>a_{ij} = a_{ji} \,</math>.
* Matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> označujeme jako ''antisymetrickou'', platí-li pro všechny prvky této matice vztah
:<math>a_{ij} = -a_{ji} \,</math>.
* Pokud každý prvek <math>a_{ij}</math> matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> nahradíme prvkem k němu [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženým]], pak získáme matici <math>\mathbfmathcal{A}^*</math>, kterou označujeme jako ''komplexně sdruženou matici''.
* Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn. <math>\mathbfmathcal{A}^* = \mathbfmathcal{A}</math>, pak matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> nazýváme ''reálnou maticí''.
* Provedeme-li na matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> transpozici a komplexní sdružení, získáme matici ''hermiteovsky sdruženou''. Hermiteovsky sdruženou matici zapisujeme jako
:<math>\mathbfmathcal{A}^+ = {(\mathbfmathcal{A}^T)}^*</math>
* Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. <math>\mathbfmathcal{A}^+ = \mathbfmathcal{A}</math>, říkáme, že matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> je ''hermiteovská'' (též ''samosdružená'' nebo ''samoadjungovaná'').
* Matice <math>\mathbfmathcal{B}</math> je ''[[Inverzní matice|inverzní maticí]]'' k matici <math>\mathbfmathcal{A}</math>, pokud platí
:<math>\mathbfmathcal{A} \cdot \mathbfmathcal{B} = \mathbfmathcal{B} \cdot \mathbfmathcal{A} = \mathbfmathcal{1}</math>,
kde <math>\mathbfmathcal{1}</math> je jednotková matice.
* Matici <math>\mathbfmathcal{A}</math>, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako ''[[Regulární matice|regulární matici]]''. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako ''[[Singulární matice|singulární]]''.
* Matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> označujeme jako ''[[Unitární matice|unitární]]'', jestliže inverzní matice <math>\mathbfmathcal{A}^{-1}</math> je rovna matici hermiteovsky sdružené <math>\mathbfmathcal{A}^+</math>, tzn.
:<math>\mathbfmathcal{A}^{-1} = \mathbfmathcal{A}^T</math>
 
* ''[[Adjungovaná matice]]'' k matici '''A''' je transponovaná matice [[algebraický doplněk|algebraických doplňků]] matice '''A'''.
Řádek 94:
[[Operace (matematika)|Operace]] s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.
 
* O dvou maticích <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> prohlásíme, že jsou si rovny, pokud mají stejný počet řádků i sloupců a každý prvek <math>a_{ij}</math> matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> je roven odpovídajícímu prvku <math>b_{ij}</math> matice <math>\mathbfmathcal{B}</math>. Rovnost matic <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> zapíšeme
:<math>\mathbfmathcal{A} = \mathbfmathcal{B}</math>
* [[Násobení|Vynásobíme-li]] matici <math>\mathbfmathcal{A}</math> komplexním číslem <math>\lambda</math>, získáme novou matici <math>\mathbfmathcal{B}</math>, jejíž prvky jsou <math>\lambda</math> násobky prvků matice <math>\mathbfmathcal{A}</math>, tzn.
:<math>b_{ij} = \lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij}) \,</math>
Výsledná matice <math>\mathbfmathcal{B}</math> je tedy stejného typu jako původní matice <math>\mathbfmathcal{A}</math>.
* Mějme dvě matice <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> typu <math>m \times n</math>. Jako [[součet]] těchto matic označíme matici <math>\mathbfmathcal{S}</math> typu <math>m \times n</math>
:<math>\mathbfmathcal{S} = \mathbfmathcal{A} + \mathbfmathcal{B}</math>
Prvky matice <math>\mathbfmathcal{S}</math> jsou určeny vztahem
:<math>s_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \,</math>
Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.
* [[Odčítání|Rozdíl]] dvou matic <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}</math> (stejného typu <math>m \times n</math>) je nová matice <math>\mathbfmathcal{R}</math> typu <math>m \times n</math>
:<math>\mathbfmathcal{R} = \mathbfmathcal{A} - \mathbfmathcal{B}</math>
Prvky matice <math>\mathbfmathcal{R}</math> jsou určeny vztahem
:<math>r_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \,</math>
Rozdíl matic <math>\mathbfmathcal{A}</math> a <math>\mathbfmathcal{B}</math> lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.
* Obecně lze pro matice <math>\mathbfmathcal{A}, \mathbfmathcal{B}, ...</math>, které jsou stejného typu, definovat [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] matic
:<math>\mathbfmathcal{L} = \lambda \mathbfmathcal{A} + \mu \mathbfmathcal{B} + ...</math>,
kde prvky matice <math>\mathbfmathcal{L}</math> určuje výraz
:<math>l_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu b_{ij} + ...</math>
* Máme-li matici '''A''' typu ''m''×''s'' a matici '''B''' typu ''s''×''n'' pak, jejich [[násobení|součinem]] je matice '''C''' typu ''m''×''n'', který značíme
:<math>\mathbfmathcal{C}=\mathbfmathcal{A}\cdot\mathbfmathcal{B}</math>,
přičemž prvky matice '''C''' jsou určeny jako
:<math>c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj}</math>
Řádek 120:
:<math>{c^i}_j = \sum_{k=1}^{s} {a^i}_k {b^k}_j</math>.
Násobení matic je také označováno jako '''[[maticové násobení]]'''.
* Opakovaným násobením matice <math>\mathbfmathcal{A}</math> sama sebou lze vytvářet ''[[mocnina|mocniny]] matic'' <math>\mathbfmathcal{A}^k</math>. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu [[polynom]]u
:<math>P(\mathbfmathcal{A}) = c_0 + c_1 \mathbfmathcal{A} + c_2 \mathbfmathcal{A}^2 + ... + c_n \mathbfmathcal{A}^n</math>
 
== Související články ==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Matice“