Matematické kyvadlo: Porovnání verzí

Přidáno 218 bajtů ,  před 2 lety
bez shrnutí editace
Bez shrnutí editace
[[Soubor:Pendulum.svg|thumb|Matematické kyvadlo]]
'''Matematické kyvadlo''' je nejjednodušším [[matematika|matematickým]] modelem [[kyvadlo|kyvadla]]. Matematické kyvadlo je [[hmotný bod]] zavěšený na tenkém nepružném dokonale ohebném vlákně zanedbatelné [[hmotnost]]i, zanedbává se [[Odpor prostředí|odpor vzduchu]] při pohybu kyvadla i [[tření]] v závěsu a [[tíhové pole]] se považuje za homogenní. Pohyb se navíc děje v jedné rovině a lze jej tak popsat jednou souřadnicí, většinou úhlem výchylky z rovnovážné polohy. Matematické kyvadlo je netlumený mechanický [[oscilátor]], tedy soustava, která po dodání počáteční [[energie]] periodicky [[kmitání|kmitá]]. Je to nelineární systém, ale při malých výchylkách (±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit např. pomocí funkce [[sinus]].
 
== Matematický popis ==
:<math>F_t = mg \sin \varphi</math>,
 
kde <math>g</math> je [[tíhové zrychlení]] a ''φ'' je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy.
 
Pro velikost tečného zrychlení platí:
: <math> \ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.</math>
 
Tato rovnice má partikulární řešení pro počáteční úhlovou výchylku <math>\varphi_m</math> (jejíž velkost je amplitudou) a nulovou počáteční rychlost
 
: <math> \varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right) </math>,
kde <math>t</math> je [[čas]], což je pohybová rovnice lineárního [[harmonický oscilátor|harmonického oscilátoru]] s [[Kruhová frekvence|kruhovou frekvencí]] ω a [[Perioda (fyzika)|periodou]] T
: <math>\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}, T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math>.
 
Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv. Matematické kyvadlo lze tedy použít k měření místního zrychlení.
 
== Reálné kyvadlo ==
Neregistrovaný uživatel