Kooperativní hra: Porovnání verzí

[[Olga N. Bondareva]]<ref>Bondareva, Olga N. "Some applications of linear programming methods to the theory of cooperative games." ''Problemy kibernetiki'' 10 (1963): 119-139</ref> v roce 1963 a nezávisle [[Lloyd Shapley|Lloyd S. Shapley]]<ref>Shapley, Lloyd S. "On balanced sets and cores." ''Naval research logistics quarterly'' 14.4 (1967): 453-460.</ref> v roce 1967 formulovali a dokázali nutnou a postačující podmínku pro hru koaliční hru <math>(v(S))_{S \subseteqq N}</math>k tomu, aby daná hra měla neprázdné jádro, tedy aby výšezmíněná soustava <math> \sum_{i \in L} a_i \geq v(L), L \subset N</math>, <math>\sum_{i \in N} a_i = v(N)</math>měla řešení. Především: soustava žádné řešení nemá, pokud váženým součtem několika nerovností soustavy jsme schopni dostat spor s koncovou rovností, tedy <math> \sum_{i \in N} a_i > v(N)</math>Například ve hře tří hráčů s charakteristickou funkcí <math> v({i})=0 </math> pro jednoprvkové koalice, <math> v({i,j})=1000 </math> pro kteroukoli koalici dvou hráčů a <math>v({1,2,3})=1200 </math>dosáváme dostáváme pro jádro (mimo dalších) podmínky <math> \begin{array}{lcl} a_1+a_2 \geqq 1000 \\ a_1+a_3 \geqq 1000 \\ a_2+a_3 \geqq 1000 \end{array}

</math>, což v součtu dává <math> 2(a_1+a_2+a_3) \geqq 3000</math>- spor s <math> a_1+a_2+a_3 = 1200</math>. Bondareva i Shapley dokázali, že platí rovněž opačné tvrzení: Z neexistence součtu některých z nerovností <math> \sum_{i \in L} a_i \geq v(L), L \subset N</math>, který by vedl ke sporu s rovností <math>\sum_{i \in N} a_i = v(N)</math>již plyne, že jádro hry je neprázdné.