Verze z 14. 6. 2019, 01:26 editovat InternetArchiveBot (diskuse \| příspěvky) Roboti 357 989 editací Robot: Opravuji 1 zdrojů and označuji 0 zdrojů jako nefunkční #IABot (v2.0beta15) ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 6. 12. 2019, 17:51 editovat zrušit editaci Streld (diskuse \| příspěvky) 1 editace →‎oprava Matematické formulace, úprava tE relace a zexaktnění zbytku značky: první editace editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 6: == Matematická formulace == Nejznámějším případem principu neurčitosti je pro standartní odchylky <math>\Delta x</math> a <math>\Delta p_x</math> , pro které platí ~~Pokud spočítáme standardní odchylku Δ''x'' a Δ''px'' změřených poloh a hybností, pak~~ :<math>\Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} </math> ~~kde~~ ~~:''<math>\hbar</math>'' je tzv. [[redukovaná Planckova konstanta]].~~ kde <math>\hbar</math> je tzv. [[redukovaná Planckova konstanta]]. Tato relace nám říká, že nelze s libovolnou přesností změřit polohu a hybnost kvantově mechanické částice. Daná relace vychází z komutační relace pro příslušné operátory. V <math>x-</math>reprezentaci máme <math>\hat{x}=x</math>, <math>\hat{p}_x=-i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}</math>, pro něž platí [[komutační relace]] ~~Princip neurčitosti je důležitý v případě, že operátory dvou pozorovatelných veličin spolu nekomutují.~~ :<math>[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar</math> * Nejznámějšími veličinami, pro které platí princip neurčitosti, jsou poloha a [[hybnost]] objektu: ::Obecně pro <math>\~~Delta x_i~~ hat{\~~Delta p_i~~vec{x}}=(x_1,x_2,x_3), \~~geq~~ hat{\~~frac~~vec{p}}=(\~~hbar~~hat{p}_1,\hat{2p} _1,\hat{p}_1)</math>platí :<math>[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\delta_{ij}\hbar</math> kde <math>\delta_{ij}</math> je [[Kroneckerovo delta]]. * dále platí pro: určení času a energie:▼ ::<math>\Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2} </math>▼ Dalšími veličinami pro které platí komutační relace jsou např. * úhel a [[moment hybnosti]] objektu: ::<math>\Delta O_i \Delta J_i \geq \frac{\hbar}{2} </math>▼ * ~~pro dvě ortogonální~~ složky operátoru celkového momentu hybnosti:▼ :: <math> \Delta J_i \Delta J_j \geq \frac{\hbar}{2}\epsilon_{ijk} \left\|\left\langle J_k\right\rangle\right\|</math>▼ kde <math>\epsilon_{ijk}</math> je [[Levi-Civitův symbol]]. ▲Často ~~dále~~se uvádí, že platí i pro: určení času a energie: ▲::<math>\Delta O_i \Delta J_i \geq \frac{\hbar}{2} </math> ▲::<math>\Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2} </math> Problém je, že v kvantové mechanice neexistuje obecný časový operátor. Existují však speciální případy, kdy lze podobný operátor zavést. Např. při sledování rozpadající se částice lze definovat posunovací operátor <math>\hat{T}</math> reprezentující posuny v energetickém spektru,<ref>Busch, Paul [https://www.researchgate.net/publication/226251302_The_Time-Energy_Uncertainty_Relation "The Time–Energy Uncertainty Relation"],January 2008</ref> z jehož komutační relace <math>[\hat{H},\hat{T}]=i\hat{I}</math> plyne výše zmíněná relace neurčitosti. ▲ pro dvě ortogonální složky operátoru celkového momentu hybnosti: == Odvození ==▼ Princip neurčitosti má přímočaré matematické odvození. Klíčovým krokem je uplatnění [[Cauchyho–Schwarzova nerovnost\|Cauchyho'''–'''Schwarzovy nerovnosti]] (prvně užil [[Augustin Louis Cauchy]] roku 1821), jednoho z nejužitečnějších teorémů lineární algebry. Relace neurčitosti pak odpovídají vlastnostem [[Fourierova transformace\|Fourierovy transformace]], kdy jisté spektrální šířce odpovídá minimální délka v původním prostoru (např. čase). Proto se analogický klasický vztah také nazývá [[Dennis Gabor\|Gaborův]] limit. ▼ Obecně se standartní odchylka měřitelné veličiny <math>q</math> definuje, jako<blockquote><math>{\displaystyle \sigma _{q}={\sqrt {\langle {\hat {q}}^{2}\rangle -\langle {\hat {q}}\rangle ^{2}}}}</math></blockquote>a pro operátory <math>\hat{A},\hat{B}</math> lze pak psát ▲:: <math> \Delta J_i \Delta J_j \geq \frac{\hbar}{2} \left\|\left\langle J_k\right\rangle\right\|</math> ~~:kde ''i'', ''j'', ''k'' jsou různé a ''J''<sub>''i''</sub> označuje úhlový moment vzhledem k ose ''x''<sub>''i''</sub>.~~ <math>\sigma_A \sigma_B \geq \left\| \frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right\|</math> ▲== Odvození == ▲Princip neurčitosti má přímočaré matematické odvození. Klíčovým krokem je uplatnění [[Cauchyho–Schwarzova nerovnost\|Cauchyho'''–'''Schwarzovy nerovnosti]] (prvně užil [[Augustin Louis Cauchy]] roku 1821), jednoho z nejužitečnějších teorémů lineární algebry. Relace neurčitosti pak odpovídají vlastnostem [[Fourierova transformace\|Fourierovy transformace]], kdy jisté spektrální šířce odpovídá minimální délka v původním prostoru (např. čase). Proto se analogický klasický vztah také nazývá [[Dennis Gabor\|Gaborův]] limit. == Historie ==

Princip neurčitosti: Porovnání verzí