Archimédův zákon: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
m Robot: smazání zastaralé šablony
značky: možný vandalismus editace z Vizuálního editoru
Řádek 17:
Toto odvození zůstává v platnosti i pro plyny. To podstatné je, že v nich tlak také klesá vlivem tíhové síly směrem dolů, takže síla působící na dno tělesa je větší než na horní stěnu. Na rozdíl od kapalin se však hustota plynů mění (v závislosti na nadmořské výšce), což však u těles běžných rozměrů nevadí.
 
<br />
== Obecné odvození ==
Mějme těleso, jako na úvodním obrázku, na které vlivem tlaku vody působí dvě síly (ostatní se vyruší). Protože síla F´´ působí ve větší hloubce, je logicky větší, tudíž převáží sílu F´. Rozdíl je tedy právě síla vztlaková. Síla vztlaková působí vždy nahoru.
 
Její velikost můžeme tedy napsat vztahem
 
<math>F_{vz}= F''-F'</math>
 
Víme, že tlak je <math>p= \frac{F}{S}</math>, tedy <math>F= S \sdot p</math>, takže vzorec upravíme:
 
<math>F_{vz}= p'' \sdot S - p' \sdot S </math>, kde tlak je hydrostatický tlak, který je fixován vztahem <math>p= \varrho \sdot g \sdot h</math>, takže vztah upravíme
 
<math>F_{vz}= \varrho \sdot g \sdot h'' \sdot S - \varrho \sdot g \sdot h' \sdot S </math>. V tomto vztahu vytkneme <math>\varrho \sdot g \sdot S </math>
 
<math>F_{vz}= \varrho \sdot g \sdot S (h''-h') </math>
 
<math>(h''-h')</math> je <math>h</math>, což je výška tělesa, takže se vztah zkrátí na
 
<math>F_{vz} = \varrho \sdot g \sdot S \sdot h </math>, kde <math>S \sdot h</math> je objem tělesa, takže se vzorec zase zkrátí na
 
<math>F_{vz}= \varrho \sdot g \sdot V </math>
 
a protože <math>\varrho \sdot V</math> je hmotnost <math>m</math>, tak se vzorec napíše jako
 
<math>F_{vz}= m \sdot g </math>.
 
Z druhého [[Newtonovy pohybové zákony|Newtonova zákona]] odvodíme finální vztah
 
<big><math>F_{vz}= F_G </math></big>
 
== Důsledky ==
Řádek 51 ⟶ 24:
: Tíhová síla, která působí na těleso, je větší než hydrostatická vztlaková síla. Výslednice sil směřuje dolů a těleso uvolněné z klidu tedy klesá.
 
:
* ''hustota tuhého tělesa je stejná jako hustota kapaliny'' (<math>\rho_t=\rho_k</math>)
: Tíhová síla je stejná jako hydrostatická vztlaková síla, má opačný směr, ale obecně jiné působiště, takže může vzniknout [[dvojice sil]]. Těleso uvolněné z klidu se v&nbsp;kapalině vznáší, tzn.&nbsp;nestoupá ani neklesá. Je sice v rovnováze sil, ale výsledný moment tíhové a vztlakové síly může být nenulový a tělesem otáčet.
 
* ''hustota tuhého tělesa je menší než hustota kapaliny'' (<math>\rho_t<\rho_k</math>)
Řádek 65 ⟶ 37:
 
Na principu Archimédova zákona fungují [[hustoměr]]y sloužící k měření hustoty kapalin. Vážením pevných těles ponořených do kapaliny lze určovat jejich hustotu.
 
== Přesné odvození ==
 
=== Matematicky pomocí integrálního počtu ===
Celková (vztlaková) síla, jíž působí tekutina na povrch tělesa do ní ponořeného, je dána z definice [[tlak]]u ''p'' jeho integrálem přes povrch tělesa,
 
<math>\vec F_\mbox{vz} =-\oint_{\partial\mathcal{V}}p\,\mathrm{d}\vec S.</math>
 
Minus je tam proto, že povrch je dle integračních konvencí orientován směrem ven. Podle integrální [[zobecněná Stokesova věta|zobecněné Stokesovy věty]] platí
 
<math>\oint_{\partial\mathcal{V}}p\,\mathrm{d}\vec S=\int_{\mathcal{V}}\operatorname{grad}p\,\mathrm{d}V</math>.
 
Ovšem podmínka rovnováhy tekutiny v tíhovém poli je
 
<math>\operatorname{grad}p=\rho \vec g</math>,
 
kde ''ρ'' je [[hustota]] tekutiny a ''g'' (místní) [[tíhové zrychlení]].
 
Pro vztlakovou sílu dostáváme tedy známý výsledek
 
<math>\vec F_\mbox{vz} = -\int_{\mathcal{V}}\rho \vec g \mathrm{d}V = -\int_{\mathcal{V}}\vec g \mathrm{d}m = -\vec F_G</math>,
 
kde <math>F_G</math> je [[tíhová síla]], která by působila na tekutinu v rovnováze zaujímající prostor tělesa.
 
=== Fyzikálně pomocí myšlenkového pokusu ===
Představme si, že část tělesa ponořenou do tekutiny nahradíme toutéž tekutinou. Pokud je tekutina v klidu, v rovnováze, tak velikost celkové síly, kterou na ni působí okolní tekutina, musí být rovna velikost tíhové síly tekutiny tělesem vytlačené, ale její směr je opačný.
 
[[Soubor:Fyzika.pdf|náhled|Archimédův zákon]]
 
== Historická poznámka ==
Zákon je pojmenován podle [[řecko|řeckého]] [[matematik]]a a [[fyzik]]a [[Archimédes|Archiméda]]. K&nbsp;objevu se váže historka, podle níž [[Archimédés]] přišel na jeho podstatu při koupeli. Přemýšlel, jak odhalit podvod [[klenotník]]a, který nahradil [[zlato]] v&nbsp;[[královská koruna|královské koruně]] za jiný, méně ušlechtilý [[Kovy|kov]]. Samotná myšlenka jej napadla při pozorování [[kapalina|hladiny]] [[voda|vody]] ve vaně, do které se ponořil. Objev jej prý uvedl do takového tranzu, že pobíhal nahý po městě s&nbsp;výkřiky „Heuréka!“ (''Našel jsem!'').
 
== Související články ==
* [[Mechanika tekutin]]
* [[Vztlak]]
* [[Plování těles]]
 
== Literatura ==
* Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil: ''Mechanika''. 2. vydání, Praha: Academia, 2004, ISBN 80-200-1268-0
 
{{Portály|Fyzika}}