JeByl absolventem [[Janáčkova akademie múzických umění v Brně|Janáčkovy akademie múzických umění]] v [[Brno|Brně]], kde studoval dirigování u prof. [[Břetislav Bakala|Břetislava Bakaly]]. Jeho dalšími pedagogy byli prof. [[František Stupka]], [[Bohumír Liška]] a [[Josef Veselka]]. Po působení v orchestru [[AUS|Armádního uměleckého souboru]] a orchestru Mladých symfoniků stál jako hlavní dirigent celá dvě desetiletí ([[1969]]–[[1990]]) v čele [[Karlovarský symfonický orchestr|Karlovarského symfonického orchestru]], který pod jeho vedením dosáhl pozoruhodné interpretační úrovně. S orchestrem mimo jiné vystoupil na [[Pražské jaro (festival)|Pražském jaru]], podnikl řadu koncertních zájezdů (zejména do [[Španělsko|Španělska]] a [[Německo|Německa]]) a nahrál s ním řadu gramofonových desek a rozhlasových snímků. Poté přijal místo šéfdirigenta [[Západočeský symfonický orchestr|Západočeského symfonického orchestru]] ([[1991]]–[[1996]]). Také tento soubor zaznamenal velmi záhy radikální změnu svých výkonů.
Radomil Eliška hostujehostoval u dirigentského pultu všech našich předních orchestrů, řídil symfonická tělesa v mnoha evropských zemích i v [[Japonsko|Japonsku]]. Odborná kritika vyzdvihujevyzdvihovala především jeho spontánní hudebnost, výrazovou intenzitu, rytmickou pregnanci a smysl pro stavbu interpretovaných děl. Mnoho českých autorů vděčí R. Eliškovi za premiéru nejednoho ze svých děl, obzvláště v období jeho karlovarského působení.
Významná je i jeho pedagogická činnost. Od r. [[1978]] vyučuje na [[Akademie múzických umění v Praze|Akademii múzických umění]] v [[Praha|Praze]], kde byl v roce [[1986]] jmenován [[docent]]em a roku [[1996]] profesorem dirigování. Vychoval celou řadu mladých dirigentů.
Od roku 2001 jebyl předsedou Společnosti Antonína Dvořáka.
