Ordinální aritmetika: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m narovnání přesměrování |
m typografické úpravy |
||
Řádek 1:
'''Ordinální aritmetika''' je jednou z disciplín klasické [[teorie množin]]. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací ([[součet|sčítání]], [[součin|násobení]], [[mocnina|mocnění]]) z [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] na všechna [[Ordinální číslo|ordinální čísla]] (včetně [[Nekonečná množina|nekonečných]]). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných [[Dobře uspořádaná množina|dobrých uspořádání]]. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin
V celém článku jsou písmena ze začátku řecké [[alfabeta|alfabety]] používána pro označení [[ordinál]]ů.
Řádek 11:
* jako <math> \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> \beta \times \alpha </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]].
Typem [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <math> \isin </math> [[Izomorfismus|izomorfní]] s touto množinou
=== Příklady součtu dvou ordinálních čísel ===
Řádek 26:
<math> \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math><br />
<math> \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math><br />
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je <math> \omega_0 \,\!</math>, takže <math> 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí horší
Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat <math> \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění:<br />
Řádek 51:
Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v [[Peanova aritmetika|Peanově aritmetice]]. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je [[Model (matematika)|modelem]] Peanovy aritmetiky.
Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší
<math> ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math><br />
Opačně to ale neplatí, protože například:
<math> (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math>
Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):<br />
Řádek 71:
# <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>
# <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
# pro [[limitní ordinál]] <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math>
== Vlastnosti ordinální mocniny ==
Řádek 86:
== Mocninný rozvoj ordinálního čísla ==
Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ <math> \omega_0 \,\!</math>
Je-li <math> \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a <math> \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla <math> k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály <math> \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí:<br />
Řádek 93:
Tento zápis nazýváme '''Cantorův normální tvar''' ordinálního čísla.
Pro vyjádření čísla <math>\,\alpha</math> v Cantorově normálním tvaru platí <math>\alpha\geq\beta_0</math>, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když <math>\,\alpha=\omega^\alpha</math>. Takových <math>\,\alpha</math> existuje dokonce [[vlastní třída]], nejmenší z nich se nazývá <math>\varepsilon_0</math>. Pro <math>\,\alpha<\varepsilon_0</math> tedy je <math>\,\alpha>\beta_0</math>, což umožňuje často používanou metodu dokazování
== Související články ==
| |||