Verze z 11. 6. 2019, 19:53 editovat Michal Grňo (diskuse \| příspěvky) 66 editací Přidána seskvilineární forma značka: editace z Vizuálního editoru ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 17. 6. 2019, 20:27 editovat zrušit editaci Michal Grňo (diskuse \| příspěvky) 66 editací Vylepšeno formátování, přidána sekce o matici bilin. (a sesq.) formy a její transformaci značka: editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 2: == Definice == Nechť <math>\mathcal{V}</math> je [[vektorový prostor]] nad [[těleso (algebra)\|tělesem]] <math>T</math>. Bilineární forma na ''<math>\mathcal{V''}</math> je každé [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] <math>B: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to T</math>, které splňuje následující podmínky, kde ''<math>\; u'', ''v'', ''w'' ∈\in ''\mathcal{V''} \;</math>a ~~''α''~~<math>\; ∈\alpha \in ''T''</math>:▼ ~~Nechť ''V'' je [[vektorový prostor]] nad [[těleso (algebra)\|tělesem]] ''T''.~~ ▲Bilineární forma na ''V'' je každé [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] <math>B: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to T</math>, které splňuje následující podmínky, kde ''u'', ''v'', ''w'' ∈ ''V'' a ''α'' ∈ ''T'': :<math>B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)\!</math> :<math>B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!</math> :<math>B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w)\!</math> :<math>B(u,\alpha v) = \alpha B(u,v)\!</math> == Matice bilineární formy a její transformace == Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně: '''Definice:''' Nechť <math>\mathcal{V}</math> je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem <math>T</math> a <math>C</math> báze v něm. Nechť <math>a, b \in \mathcal{V}</math>jsou vektory a <math>\vec{a}, \vec{b} \in T^n</math>jejich vyjádření vůči <math>C</math>. Nechť <math>B</math> je bilineární forma na <math>\mathcal{V}</math>. Matice <math>M</math> je vyjádřením bilineární formy <math>B</math> v bázi <math>C</math> pokud splňuje: :<math>B(a,b) \, = \, \vec{a}^T M \, \vec{b} \quad \forall a,b.</math> Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud <math>a = R \, a'</math> a zároveň má platit <math>{a'}^T M' b' = a^T M \, b</math>, potom: :<math>a^T M \, b \; = \; (R \, a')^T M \, (R b') \; = \; {a'}^T (R^T M \, R) \, b \; = {a'}^T M' b' \quad \implies \quad M' = R^T M \, R.</math> == Symetrická a antisymetrická bilineární forma == Řádek 24 ⟶ 35: == Seskvilineární forma == VVe vektorových prostorech nad [[Komplexní číslo\|~~kompexních~~kompexními ~~číslech~~čísly]] se v mnoha případech (například jako [[skalární součin]]) místo bilineárních forem používají tzv. ''seskvilineární formy'', které jsou v prvním argumentu ''antilineární'' a v druhém lineární. Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo: ~~Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:~~ :<math>B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!</math> Řádek 35 ⟶ 44: kde <math>\bar\alpha</math> je [[Komplexně sdružené číslo\|komplexní sdružení]]. Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu <math>a^+ M \, b</math>a transformačnímu vztahu <math>R^+ M \, R</math>, kde <math>A^+</math>značí matici [[Hermitovsky sdružená matice\|hermitovsky sdruženou]] s <math>A</math>. == Související články ==

Bilineární forma: Porovnání verzí