Bilineární forma: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Přidána seskvilineární forma značka: editace z Vizuálního editoru |
Vylepšeno formátování, přidána sekce o matici bilin. (a sesq.) formy a její transformaci značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 2:
== Definice ==
Nechť <math>\mathcal{V}</math> je [[vektorový prostor]] nad [[těleso (algebra)|tělesem]] <math>T</math>. Bilineární forma na
▲Bilineární forma na ''V'' je každé [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] <math>B: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to T</math>, které splňuje následující podmínky, kde ''u'', ''v'', ''w'' ∈ ''V'' a ''α'' ∈ ''T'':
:<math>B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)\!</math>
:<math>B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!</math>
:<math>B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w)\!</math>
:<math>B(u,\alpha v) = \alpha B(u,v)\!</math>
== Matice bilineární formy a její transformace ==
Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:
'''Definice:''' Nechť <math>\mathcal{V}</math> je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem <math>T</math> a <math>C</math> báze v něm. Nechť <math>a, b \in \mathcal{V}</math>jsou vektory a <math>\vec{a}, \vec{b} \in T^n</math>jejich vyjádření vůči <math>C</math>. Nechť <math>B</math> je bilineární forma na <math>\mathcal{V}</math>.
Matice <math>M</math> je vyjádřením bilineární formy <math>B</math> v bázi <math>C</math> pokud splňuje:
:<math>B(a,b) \, = \, \vec{a}^T M \, \vec{b} \quad \forall a,b.</math>
Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud <math>a = R \, a'</math> a zároveň má platit <math>{a'}^T M' b' = a^T M \, b</math>, potom:
:<math>a^T M \, b \; = \; (R \, a')^T M \, (R b') \; = \; {a'}^T (R^T M \, R) \, b \; = {a'}^T M' b' \quad \implies \quad M' = R^T M \, R.</math>
== Symetrická a antisymetrická bilineární forma ==
Řádek 24 ⟶ 35:
== Seskvilineární forma ==
:<math>B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!</math>
Řádek 35 ⟶ 44:
kde <math>\bar\alpha</math> je [[Komplexně sdružené číslo|komplexní sdružení]].
Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu <math>a^+ M \, b</math>a transformačnímu vztahu <math>R^+ M \, R</math>, kde <math>A^+</math>značí matici [[Hermitovsky sdružená matice|hermitovsky sdruženou]] s <math>A</math>.
== Související články ==
|