Otevřít hlavní menu

Změny

Přidáno 969 bajtů ,  před 4 měsíci
Přidány informace o seskvilineárních formách v C a jejich polárních bázích
'''Polární báze''' je [[matematika|matematický]] pojem z oblasti [[lineární algebra|lineární algebry]]. Je to taková [[báze (algebra)|báze]] [[vektorový prostor|vektorového prostoru]], vůči které má daná [[bilineární forma]] diagonální [[matice|matici]]. Prvky polární báze lze považovat v jistém smyslu za na sebe kolmé vzhledem k dané bilineární formě. V [[Unitární prostor|unitárních prostorech]] nad [[Komplexní číslo|komplexními čísly]] se používá pojem polární báze i pro [[Seskvilineární forma|seskvilineární formy]].
 
== Definice ==
* ''f'' je konstantně nulová. Pak jakákoli báze ''V'' je polární.
* Existují ''u'', ''v'', že <math>f(u,v) \neq 0</math>. Pak nutně existuje ''w'', že <math>f(w,w) \neq 0</math> (jinak totiž ''f''(''u'' + ''v'',''u'' + ''v'')= ''f''(''u'',''u'') + 2''f''(''u'',''v'') + ''f''(''v'',''v'') = 2''f''(''u'',''v''), což není nula). Množina ''W'' všech ''u'' takových, že ''f''(''w'',''u'') = 0 tvoří [[podprostor]] ''V'' dimenze ''n'' - 1 neobsahující ''w''. Podle indukčního předpokladu má tedy ''W'' polární bázi {u<sub>1</sub>,…,u<sub>n - 1</sub>}. Z volby ''W'' pak plyne, že {u<sub>1</sub>,…,u<sub>n - 1</sub>,w} je polární báze ''V''.
 
=== Komplexní čísla ===
V [[Unitární prostor|unitárním prostoru]] nad [[Komplexní číslo|komplexními čísly]] se potom používá (oproti <math display="inline">\mathbb{R}</math>) silnější tvrzení:
 
:''Nechť V je unitární prostor nad <math>\mathbb{C}</math> s ortogonální bází B. Pro každou [[Seskvilineární forma|seskvilineární formu]], jejíž matice je vůči B [[Normální matice|normální]], existuje polární báze P taková, že matice přechodu mezi B a P je [[Unitární matice|unitární]].''
 
Toto vyplývá z faktu, že [[normální matice]] jsou [[Ortogonální diagonalizace|ortogonálně diagonalizovatelné]], tedy lze najít takovou unitární matici U, že <math>A = U^{-1} D U = U^+ D U</math>, kde D je [[diagonální matice]].
 
== Signatura kvadratických forem ==
58

editací